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长文警告 长文警告！本文干货，预计阅读时间10min 大家好，我是科学羊🐏！ 你是如何看待数学的？ 中学时候，物理相比起数学我更讨厌数学，因为数学很无趣，就一堆方程变来变去，一堆几何图形画去，纯理论！有时候会真的想，学数学究竟有什么用。 然而，物理和数学比起来，还稍微有趣点，起码物理有感知。学习牛顿第三定律的时候，老师说我打你脸上一巴掌，你会把我上手一脸，真的生动有趣... 直到读完大学参加机器人工程相关的工作后才知道，原来数学太有用了，不仅有用而且有趣...，所以我不得急着要将自己学到的数学感悟分享给大家。 如果揉碎了说，我只能表示，这个全宇宙中只有数学不会欺骗你。 我师父曾说，学一样东西，最好的方式就是把它的来龙去脉给搞清楚，这样知识就会在你脑子里游刃有余！所以我的愿望也是如此，学习知识本身的元知识，才能将知识的本质彻底搞明白。 今天开场这段话，其实我想引出一个事件 —— 2016年诺贝尔物理学奖“拓扑相变”。 因为这个奖项可以让我们好好感受到数学的重要性，也是为了后面写数学科普提供价值。  话说，微积分是牛顿力学的基础，黎曼几何是广义相对论的基础，微分几何是弦论的基础、线性代数是工业机器人的基础，而量子力学的发展，不太一样，它是在不断地进展，每次进展都有新的数学工具加入，比如说矩阵啊、群论等。 在1980年后，拓扑学也加入了其中。 我们还期待数学中最大的一个分支叫做数论，它经过了2000多年的发展，仍然还站在物理学的门外张望，什么时候数论应用到物理学，一定是一个让诺贝尔奖都引以为荣的时刻... 接下来我们来看看2016年诺贝尔物理学奖“拓扑相变”吧。 2016年，瑞典皇家科学院10月4日宣布，将2016年诺贝尔物理学奖授予三位美国科学家，分别是大卫·索利斯、邓肯·霍尔丹和迈克尔·科斯特利茨这三名科学家，以表彰他们在物质的拓扑相变和拓扑相方面的理论发现。
在讲拓扑相变之前，我们先来谈谈拓扑相变中的拓扑和相变这两个概念。 01 拓扑 拓扑是什么呢？
如上图，拓扑本来是一个纯数学分支。 正是这次获奖三个人的努力，让这个分支第一次插入到物理学里。每次物理学家把新的数学工具领进来，都会造成物理学上的很大突破。 拓扑和几何有一些关系，它就是研究形态相似的程度。比如说，一个圆球和一个椭球，虽然咱们看起来样子是很不一样的，但是在拓扑上，却是拓扑等价的！甚至他们和一个立方体，或者茶杯都是等价的。 为什么呢？ 你可以想象成他们都是可塑性很强的橡皮泥捏成的，如果仅仅通过揉一揉、压一压、按一按造成的改变，如下动图所示：
这就相当于没有改变，他们是拓扑等价的。 但如果你把它做成了一个带把儿的水杯的形状，那拓扑上就不等价了，因为你没法通过揉一揉、按一按、压一压把一个平面上弄出一个窟窿来。 没错就是出来有个洞，就不行了！
所以一个带“孔”的正方体和一水杯是不等价的，正方体多了一个窟窿。 如果是眼镜儿呢，就是那种没有眼镜片的眼镜，这下它出现了两个窟窿，所以眼镜框跟茶杯和饭碗都不一样了，是另外一种拓扑了，如果是带有三个窟窿的曲奇饼干呢，那就又是一种新的拓扑结构了。
拓扑学的简单图示，洞的多少决定拓扑的分层，图片来自 X-MOL 当然，这里我简单说了下关于“洞”会导致的不同，其实这里学问大着呢！我们后面数学科普会讲。 大概明白了拓扑，我们再来说相变。 02 相变
物质的相变 相变，又称物态变化（Phase Transition），是指物质在外部参数（如：温度、压力、磁场等等）连续变化之下，从一种相（态）忽然变成另一种相，最常见的是冰变成水和水变成蒸气。 比如说固态到液态是一种相变，液态到气态也是一种，这很好理解，这中间的区别主要是因为分子间距的改变。 但是还有一些相变从外观上是看不出来的，比如说给磁铁加热，温度到了一个临界点以后，磁性就会完全消失了，虽然你从外表看，还是那块吸铁石，但它在磁性上已经发生了改变，这就是一种相变。 同样的，还有一些材料在温度变化的时候，会从不导电变为导电，或者在极低温下电阻从有到无，虽然从外观上看，也没有任何变化，但其实导电性大幅跳跃也是一种相变。 03 拓扑相变
拓扑相变是什么呢？ 如果我们用拓扑学来描述一组原子的排列，那么当外界条件发生变化的时候，这组原子的排列会发生变化，如果从拓扑学的规则或者几何学角度看，已经非常迥异了，但是它们仍然是拓扑等价的。 但是另外一些时候，连拓扑都不等价了，这个时候就相当于发生了拓扑相变。 这种相变不是仅仅体现在“排列顺序”这种数学概念上，甚至也会带来一些可以测量到的，物理特性上的改变。 我觉个卓克老师提到的例子。 霍尔效应
假如我们有一块材料，就像一张厚度2mm的纸那样，平放在桌面上。如果给这张纸通上电，再往垂直于桌面这个方向加一个磁场，会出现一个奇怪的现象。 这张纸这一侧和另一侧，出现了电压差。 也就是电子都集中跑到其中一边儿去了，这个就叫做霍尔效应。听说汽车的速度表显示的数字，就是靠这个原理测得的。 到了1980年，量子霍尔效应被发现了，多了量子两个字，条件跟霍尔效应只有一点不同，就是它外加的磁场是超强磁场，不是130年前那种弱磁场了。
拓扑相变的简单图示，图片来自 X-MOL 这时候虽然有一部分电子仍然会靠边走，但是在内部，更多的电子不会往边上靠，而是自己在原地打转转，这就会造成，在这个材料的某一个方向上电阻为零。电阻为零，这有什么意义呢？ 这可是超导啊！ 但是这种还需要超导需要低温环境，如果考虑cpu的话，这不太可能实现。 所以量子霍尔效应也被卡住了，就是实现它的必要条件是得有超强磁场，这一般都得配一个车间那么大的磁场发生器才可以，这样的东西也不可能进到CPU里面。 这时候这次诺贝尔奖得主邓肯·霍尔丹，就用他新的数学工具计算出，其实量子霍尔效应还有一个更加奇特的情况，就是在不用外加超强磁场的情况下，甚至连一点磁场都不用加的情况下，也能实现量子霍尔效应，也能在某个方向上，出现电阻为零的情况。 如果没有这种新的数学工具拓扑的引入，从前的人是不可能通过原有的物理学预测到有这种物质的存在的，这种新的效应就被称之为反常量子霍尔效应。 反常量子霍尔效应对材料有2个要求： 一个是边缘导电而内部绝缘； 二是材料自身有磁性； 世界上有这种物质吗？ 很多年来没有人找到，但大家都根据这次被颁发的科学家的理论知道了，先得找到一种叫做拓扑绝缘体的物质，这种物质天生就已经满足了第一个条件，就是表面导电而内部绝缘。 听到这里你是不是觉得有点像个“金碗”，哈哈哈！ 拓扑绝缘体就是今年颁奖的拓扑相物质理论中预测出来的、计算出来的，具体什么物质什么材料才会这样呢，很久以来谁也不知道。 可没想到，这种物质竟然就隐藏在普通材料里。比如像硒化铋，碲化铋，碲化锑，可能一辈子也用不到这些词，但实际上这些物质在半导体领域是常见的。 接下来，它还差了一个条件，就是自身有磁性。 怎么解决呢？ 只能通过掺杂有磁性的材料来实现，就是往原有材料里撒盐一样，往里撒进一些有磁性的东西。 但是，按原有量子力学的理论，一旦掺杂了其他物质，原本基底的那些材料，很多特性都会发生改变。 但是没关系，在新数学工具下的拓扑相变理论中，外部导电+内部绝缘的特性是不会在掺杂后消失的。 结果就在前几年，中国最先做出了真正可以实现反常量子霍尔效应的材料出来，是在拓扑绝缘体里掺杂了金属铬实现的。 也许今后我们手机芯片就可以利用这个伟大的拓扑技术，让我们拭目以待。 总结： 这三位获奖者打开了一个未知世界的大门，他们使用高等数学方法研究物质不寻常的相（phase）或者状态（state），例如超导体、超流体或磁性薄膜，为我们打开了一个未知世界的大门。 他们开创性的工作，为进一步研究新奇的物质相打下了坚实的基础。人们都期待着他们的拓扑相变及物质拓扑相的理论在材料科学和电子学中得到广泛应用。 好，今天就先这样啦~ Masir 2023/11/06 祝幸福~ END PS：11月中旬我会为大家带来《数学科普》第一季的学习，敬请期待！  参考文献 [1].https://www./news/3565 [2].解读2016年诺贝尔物理学奖“拓扑相变” - 得到APP (dedao.cn) |
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