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基于认知水平进阶的概念学习*  作者介绍 宋煜阳 宋煜阳数学工作室导师，宁波市奉化区教师进修学校小学研训部主任、小学数学教研员。省特级教师，正高级教师，宁波市名师，宁波市优秀教研员，浙江省优秀培训教师，小学教学、小学数学教师杂志封面人物。 一、认知水平进阶： 如何为一线教师概念教学理论加持？ 数学学习是为了什么？ 著名数学教育家波利亚在第四届国际数学教育大会上强调，数学学习的一个最重要的目的就是学会更聪明地思考问题。 许多研究者认为，培养学生高层次的数学认知能力是达到这个目的的有效路径。而对高层次数学认知能力的评估与教学，必须构建数学认知水平的分析框架。 在多个数学认知水平的分析框架中，影响力较大的包括我国顾泠沅教授提出的四个水平层次架构：水平1，计算——操作性记忆水平；水平2，概念——概念性记忆水平；水平3，领会——说明性理解水平；水平4，分析——探究性理解水平。其中，水平1、2为记忆水平，属于较低的认知水平；水平3、4为理解水平，属于较高的认知水平，第4水平（探究性理解水平）通常称作高认知水平。 具体到一次完整的概念学习，可以描述为学生从学习起点到学习目标之间认知水平进阶的过程。针对这个概念学习过程的评价，一线教师习惯于借助前测把握学习起点、利用后测检验学习目标的达成程度，也有结合学生作品进行能力水平分析比较。但在整个学习过程评价中，不论是学习起点还是学习终点（学习目标），即便是划定的能力水平，究竟处于数学认知水平的哪个层级往往是模糊的、不准确的，缺乏数学认知水平分析框架作为理论依据。 那么，如何基于数学认知水平实现概念的进阶式学习呢？笔者领衔的研究团队以顾泠沅教授的数学认知水平分析框架为指导，开启了长达两年的“基于认知水平进阶的核心概念学习”研究。 研究的朴素愿景是，应用数学认知水平分析框架来设计评价题，证实概念学习的认知起点与终点，调适和优化学习路径，从而达到较高的认知水平。基于此，研究步骤主要包括五步： 1.分析概念，设计四个认知水平的前测题。 2.分解目标，设计四个认知水平的后测题。 3.对比实验，通过教学前后测比较、对照班与实验班教学对比，聚焦认知水平进阶的核心问题。 4.二轮实证，修正前测、后测题和学习路径，进入第二轮认知水平进阶实验研究。 5.应用扩展，将初步研究成果扩展到多个实验班进行应用研究，完善结论。 上述研究步骤的实施，离不开数学认知水平分析框架在每个概念中的具体化。具体化主要包括认知水平四个层次含义理解、关键词圈定和具体概念各层次评价题设计三部分。如，数学认知水平分析框架在“圆”概念中的具体化，可以分析为表1。  值得注意的是，要实现数学认知水平分析框架在概念中的具体化，除了准确理解认知水平各层次含义和关键词外，还需要基于概念的本质理解，防止由于概念形式化的理解导致认知水平层次分析出现偏差。 二、学习起点思辨： 可以垫高那块认知底板吗？ 美国教育心理学家奥苏伯尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。”这段经典的论述，阐明了学习起点在学习过程中的重要地位与关键作用。回应到数学认知水平分析框架，与学习起点对等的是认知水平起点，虽说它是那块认知水平底板，却是认知水平进阶里不可或缺的固着点，它的高度直接影响着认知顶层设计的高度和认知水平进阶的跨度。 关于学习起点的分类，学术界说法并不统一。有的把学习起点分为逻辑起点和现实起点，有的把学习起点分为知识起点、经验起点和心理起点，也有的认为学习起点包括知识起点、思维起点和经验起点。在笔者看来，学习起点不管怎样分类，都需要基于数学认知水平的视角加以分析。 第一，学习起点的讨论绕不开数学认知水平分析。正如前文所述，学习行为分析的背后是数学认知水平的评估。了解学习起点，与其说是对学生知识基础、技能程度、经验储备、思维状态和心理倾向等进行判断，还不如说是对学生数学认知水平起点的诊断。 第二，学习起点应然状态和实然状态之间的思辨，实质上反映了数学认知水平层次划分的问题。也就是说，概念学习时学生应有怎样的认知水平层次相匹配，学生实际具备的认知水平层次又是什么，当两者冲突时又该如何合理选择认知水平起点等问题，都需要纳入学习起点思考的视角。 教学中，经常会出现学习起点的应然状态和实然状态不一致的情形，许多教师的观点是应然状态（逻辑起点）要服从于实然状态（现实起点）。对于应有的认知水平起点来说，面临的结果无外乎两种：被拉高或被降低。如果是降低应有的认知水平起点，笔者认为需要谨慎。我们需要深入思考：能否着眼于认知发展，在前期学习中有效孕伏，从而垫高那块认知底板，达到应有的认知水平起点？  举一个例子加以说明。“四边形”概念学习的认知水平起点，多数学生处于操作性记忆水平层次，表现为能够根据先前描一描、画一画等操作活动，形成“四边形有四条边、四个角”的经验去辨认一些四边形。但一旦遇上图1辨认就会出现困难，主要原因是原先利用四边形特征判别的方法受到限制（图中的优角超出了三年级学生的认知范围，找不出四个角），许多教师往往采用回避处理，甚至觉得此题没有意义。那么图1该如何辨认分析呢？需要借助四边形的定义“由四条线段为围成的封闭图形叫做四边形”加以判断分析，所依赖的认知水平起点提高了，属于概念性记忆水平层次。可见，无论是认知水平起点提高、学科素养训练还是四边形特性的体会（图1由凸四边形变形拉动形成凹四边形），图1的练习都有特定的价值。那么，如何垫高到“四边形定义”认知水平起点呢？只需在操作活动中增加“搭一搭（选择合适的小棒搭一个四边形）”“说一说（用了几根小棒、怎么搭的）”活动，就可以得出四边形的定义。这样，概念学习认知水平起点就达到了概念性记忆水平层次。 无疑，认知水平的发展高度很大程度上取决于认知底板的高度。垫高认知底板，需要以整体教学的视域、用联系发展的眼光来审视学习起点。起点，是相对的，是上一个终点的开始。从这个意义上说，把学习起点划分为知识点、能力点、衔接点三类，更有利于认知水平起点的理解与分析。教学中，既要善于搭建认知水平上行的斜坡，又要善于垫高认知底板，后者应该成为学习起点思辨的重要视角。  [*本组文章系浙江省教研课题《基于认知水平进阶的核心概念学习研究》（立项编号：G18068）阶段研究成果。] 未完待续，敬请期待 宋煜阳数学工作室 审核：周春萍 |
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