【原】行列式的拉普拉斯定理

定义1(余子式的推广和子式) 在n阶行列式D中任意选定k行k列(k≤n)，位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的相对位置排列构成的k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式。当k<n时，在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的相对位置排列构成的n-k阶行列式M'，称为k阶子式M的余子式。

从定义1可以看出，M也是M'的余子式，所以M和M'可以称为D的一对互余的子式。

定义2(代数余子式的推广) 设k阶子式M的各行列在D中的行列指标分别是i₁,i₂,…,i_k;j₁,j₂,…,j_k。则将M的余子式M'乘上系数(-1)(i₁+i₂+…+i_k)+(j₁+j₂+…+j_k)后得到的(-1)(i₁+i₂+…+i_k)+(j₁+j₂+…+j_k)M'称为M的代数余子式。

定理1(拉普拉斯定理) 设在行列式D中任意取定了k个行(列)，则由这k行(列)元素组成的一切k阶子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

可以看出，拉普拉斯定理是行列式按一行(列)展开的公式(行列式按一行(列)展开)的推广。根据拉普拉斯定理可以证明行列式的乘法定理。

定理2(行列式的乘法定理) 两个n阶方阵A和B的乘积的行列式等于它们各自的行列式之积，即|AB|=|A||B|。