凯利准则：通过最优投注最大化回报

引言

在金融和投资领域，对最优决策的追求导致了众多理论和策略的发展。凯利准则就是这样一个强大的工具，它是一种数学公式，旨在帮助个人在结果不确定的情况下最有效地利用其资本。凯利准则最初由 John L. Kelly Jr. 于 1956 年提出，不仅适用于赌博和博彩，还适用于不确定性下的投资和决策。本文主要讨论不同投注和投资场景下的凯利准则原理及其应用。原文作者为Diego Pesco Alcalde

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一个简单的例子

假设你是一名玩家博彩体育，通过分析历史数据，发现你的策略的胜率为 52%。那么问题来了：应该在下一次赌注中投入多少资金？一方面，你有分配更多资本的雄心，有可能扩大利润。另一方面，谨慎地分配较少的资本，以尽量减少重大损失和资本侵蚀的风险。如何平衡这两个因素以获得可持续的长期回报？让我们进行一次实证测试，假设一系列大小相等的投注，在 1000 次投注中获胜概率为 52%。在第一个场景中，我们每次下注都投注净资产的 1%：

结果还是不错的，回报率在40%左右。让我们投入更多的钱，这次测试 2% 

和 4%。

结果显示，更高投入的累计收益率更高，但波动性也更大。现在让我们更进

一步，赌更高的百分比。

虽然我们的最终回报率增加了 1% 到 4%，但此后回报率急剧下降，导致许多情

况下完全亏损。这就是投注中杠杆不当所带来的破坏性影响。但为什么会出现

这种情况呢？下表分析了不同杠杆下盈利 5% 和亏损 5% 对总净值的影响。

表中显示，对于同样的场景，杠杆越高，获得的总损失就越大。我们将其称为杠

杆阻力的总体损失，因为其影响与投注的杠杆成正比。如果我们模拟一个大优势

为 5% 的投注，赢了 10%，输了 5%，结果会怎样呢？我们可以分别计算边缘

和阻力影响，以了解它们对整体结果的贡献。

通过图形观察结果：

尽管看起来可能违反直觉，但有优势的杠杆交易可以获得最大的增长。虽然

边缘效益随着杠杆作用线性增长，但阻力影响呈指数增长。因此，任何来自

“最佳”点的额外杠杆都会对整体利润产生破坏性影响。

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凯利准则

凯利标准的核心是一个公式，当成功的赔率和概率已知时，该公式有助于确定一系列赌注的适当规模。它旨在回答这个问题：为了最大化您的长期增长率，您应该为每次投注分配多少资金？公式如下：

其中， f* 是投注于单个赛事的资本比例。b 是投注时收到的赔率（投注成功时

的潜在利润）。p 是获胜的概率。q=1−p 是失败的概率。

凯利准则表明，适当的赌注大小应与赌注中感知到的优势或优势成正比。这具有直观意义：如果赔率对你有利，你应该下注更多，如果赔率对你不利，你应该下注更少。该公式将潜在奖励（赔率）和成功的可能性（概率）纳入一个决策框架中。将凯利准则应用于我们的第一个示例，我们得到： 

• 52% 获胜概率 (p) 

• 48% 失败的概率 (q) 

• 获胜或失败时的类似回报 (b=1)。

可以通过在每项赛事投注总额的 4% 下注来获得最大增长率。那么第二个例子呢？ 

• 50% 获胜概率 (p) 

• 50% 失败的概率 (q) 

• 利润是损失的 2 倍 (b=2)

在这种情况下，凯利标准建议下注大小为总金额的 25%。你可能会想25%是不

是太大了，下面来谈谈凯利准则的实际应用。

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凯利准则的应用

正如我们所讨论的，约翰·凯利开发的公式对于确定已知概率和已知收益的最大增长率点非常有用。下面的曲线称为凯利曲线，显示了不同杠杆值的增长率行为。凯利标准计算出的杠杆是图表中的最高点，这意味着多押注一分钱就会增加风险并降低增长率，从押注或投资的角度来看，这是不合理的。换句话说，凯利准则估计值可以被视为杠杆边界而不是建议。

此外，在大多数情况下，不存在已知的概率和收益，我们所能得到的最好的就

是基于历史数据的估计。如果这些估计过于乐观，实际最大增长杠杆将低于估

计的。这就是“分数凯利”策略出现的地方。下注凯利准则计算的规模的一小

部分将减轻乐观估计的风险，并提供比实际计算的规模更高的利润风险比。分

数凯利值位于上图的蓝色/绿色区域，其中额外的风险单位会获得高边际增长

率的回报。

基于此，应用凯利准则的合理实用框架是： 

• 执行必要的测试来估计策略的获胜概率和回报

• 考虑保守情景调整估计以避免乐观假设 

• 使用凯利公式计算最大赌注大小

• 根据所需的利润与风险比率应用凯利准则的一部分。对于希望增加总体利润的交易者来说，接近 1 的分数是合理的选择，而较小的分数将增加风险调整后的利润。

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金融市场中的凯利准则

凯利标准最初是在决策过程中考虑离散的输赢赌注而开发的。问题在于，金融市场是连续流动的，并不遵循这种模式。考虑到这一点，爱德华·索普扩展了凯利准则逻辑，并开发了一个适用于他自己的对冲基金的模型。调整后的公式为：

其中，f* 是交易中分配的资本比例。μ 是资产或策略的平均回报。r 是无风险利率。σ² 是资产或策略方差。

让我们在标准杠杆买入并持有策略中使用 S&P500 作为我们的资产来进行逐步测试。每年，投资杠杆都会使用上述公式和上一年的数据进行重新平衡。正如我们在图表中看到的，凯利准则的估计值可能非常极端，因此我们将杠杆率限制在资本的 0.5 到 3 倍之间。

从杠杆投资组合获得的总回报如下：

高杠杆对投资组合的影响非常明显。2018年和2020年的市场危机对我们的测

试产生了重大影响，导致累计回报低于基准。此外，回撤和波动性要大得多，

这意味着夏普比率和卡尔玛比率也较小。与其他优秀的市场理论类似，将凯利

准则付诸实践需要时间和精力。在这个具体示例中，我们使用一年的回顾期，

以每年的频率重新平衡杠杆。这两个参数会对实施的有效性产生重大影响，需

要进一步分析。此外，对于包含许多或多或少相关的资产的投资组合，应用程

序可能会变得更加复杂。尽管如此，现有文献表明，充分的实施确实会对长期

结果产生积极影响。

结语

凯利准则为涉及不确定性和风险的情况下的决策提供了一个强大的框架。它的数学基础为个人提供了一种系统的方法来确定适当的赌注大小，从而实现风险和回报的平衡。尽管该标准有其局限性，但其核心原则的应用远远超出了赌博领域，使其成为做出合理决策至关重要的各个领域的宝贵工具。与任何战略一样，了解其假设并根据具体情况进行调整是其成功实施的关键。

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