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在这个全球化的时代，船舶与飞机这些现代化的交通工具对我们具有重要的意义。船舶承载着大部分的国际贸易，运输商品和资源，连接世界各地的港口；飞机则使跨越国界的快速旅行成为可能，让人们能够迅速到达目的地。它们的存在极大地方便了我们的生活，并在促进全球化、旅游业和经济发展方面发挥着不可或缺的作用。相信大家也多少有乘坐飞机或轮船旅行的经历。但在航行当中，大家有没有思考过，我们在地球上以怎样的方式运动着？ 身处交通工具上的我们，自然而然地感觉自己始终在平面上前进，但众所周知，地球是一个椭球体，船舶始终在海平面上航行，飞机距离地表的距离也基本稳定，实际上我们是在沿球面上的某条弧前进，旅行距离越远，如国际乃至洲际旅行，我们认知的二维平面轨迹与实际的三维弧形轨迹相差也就越大。这种不可避免的认知错位正提示我们地图投影的意义所在。 从三维角度来说，地球仪是呈现地球的最佳方式，可对于人类而言，不仅是在携带、查阅、测距等实际应用上并不方便，也背离了对简便、直观的需要。所以即使在早已认识到地球的真实形状的今天，我们仍需要和古人一样，采用二维平面的方式呈现地球，也就是地图，只是要以科学、准确的方式来呈现。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法和过程，就是地图投影。 但曲面展开，其变形是必然的，我们可以简单想象一个剥橘子的场景，不论通过什么方式剥下橘子皮，平摊在桌子上，它肯定会发生褶皱、拉伸或断裂等现象，导致长度、角度、面积等几何性质的变形。所以并不存在完美的投影方法，只能对不同的情况进行取舍，将一部分几何性质完整保留。  （图源 百度搜索） 地图投影的分类方式有许多种，如按变形性质分为等角投影（角度不变）、等积投影（面积不变）和任意投影；按投影轴与地轴关系分为正轴投影（重合）、斜轴投影（斜交）与横轴投影（垂直）；按投影面与地球表面关系分为切投影与割投影；按正轴投影时经纬网的形状分为几何投影（圆柱投影、圆锥投影和方位投影）和条件投影（伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影）。在确定海空航线时，最常用到的是墨卡托（Mercator)投影，也可称为正轴等角切圆柱投影，由荷兰地图学家墨卡托于1569年首次创建。由于没有角度变形，墨卡托投影地图上的直线就是等角航线（沿着某一方向一直航行的路线），能够相对准确地显示地点之间的真实方向，所以在海空航行方面得到了广泛应用。  （图源 维基百科） 在明确了地图投影之后，我们就可以利用平面地图来确定航线。首先，根据立体几何原理，沿两点之间的大圆上的劣弧航行是最短的路线，这种航线称为大圆航线。但在大海或高空中航行，并没有地标可供参考，只能依靠定位系统计算方位角（航向与北方向的夹角，顺时针方向，0°-360°）来确定航向。所以最短的大圆航线在实际应用中是不太现实的，我们需要将其与墨卡托投影结合起来，即在大圆航线上取若干点作为中途点，量取这些点的坐标，并在墨卡托投影上连接这些点得到航线，最后根据实际情况微调即可。如图所示为西雅图至伦敦的大圆航线与等角航线。  （图源 百度搜索） 更进一步，能不能利用数学方法大概计算出起点与终点之间的航向呢？自然是可以的，这实际上就是将地球看作正球体，随后计算球面上两点的方位角。如图所示，在QGIS软件中加载底图，我们以上海飞往新西兰奥克兰的航线为例，在墨卡托投影地图上定位起点与终点并连线，量算航线的方位角即可得到航向角，结果为方位角139.788927°，即为向南偏东40.22°航行。  设起点经纬度为lonA，latA，终点经纬度lonB，latB（均为弧度），可用两点间方位角公式计算得到航向角： θ = arctan (sin(lonB-lonA)*cos(latB), cos(latA)*sin(latB)-sin(latA)*cos(latB)*cos(lonB-lonA)) 如代入上海（121°E，31N°）与奥克兰（173°E，36°S），南半球的奥克兰将其纬度记为-36°S得到结果（角度）约140°，就验证了这个公式。 |
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