第四节 二阶常系数线性齐次微分方程

              [概念 公式 重难点 例题]

1、二阶线性微分方程：

形如的方程称为二阶线性微分方程，式中。

当时，这个方程称为齐次的；

当时，这个方程称为非齐次的；

当均为常数时，称为二阶常系数线性微分方程，它的形式是，其中是已知常数，且。

当时，这个方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，即

二阶代数方程称为方程的特征方程。

特征方程的根称为方程的特征根。

              [概念 公式 重难点 例题]

定理1  若与是方程的两个解，则也是此方程的解，其中是任意常数。

定理2  若与是方程的两个线性无关的特解，则此方程的通解是：,其中是两个任意常数。

              [概念 公式 重难点 例题]

本节的重点是二阶常系数线性齐次微分方程的求解问题，解题步骤为：

1、写出微分方程的特征方程；

2、求出特征方程的两个根和

3、根据特征根的不同情况，按下表写出微分方程的通解：

特征方程的根	微分方程的通解
不等实根
相等实根
共轭复根

4、若问题是要求出满足初始条件的特解，再把初始条件代入通解之中，即可确定和，从而获得满足初始条件的特解。

              [概念 公式 重难点 例题]

例、求下列二阶线性常系数齐次微分方程的通解或特解：

(1)

(2)

(3),

(4), 

解：(1)特征方程为

特征根为

故通解为

(2)特征方程为

特征根为

故通解为

(3)特征方程为

特征根为

故通解为

则

由有

解得

所求特解为

(4)特征方程为

特征根为

故通解为

则

由

得

所求特解为。