【原】典型习题：(070410)二阶变系数齐次线性微分方程求解与刘维尔公式

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习题分析、求解、小结讲解视频

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习题与参考答案

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内容小结与知识点

二阶变系数齐次线性微分方程的解法：

变系数的线性微分方程一般比较难以计算得到通解，对于二阶变系数的齐次线性微分方程，在通过一定方式，或者已知一个特解的情况下，可以采取如下的方法求得另外一个线性无关的特解，从而可以依据解的结构写出其通解表达式。具体方法可以为：

1．待定函数法求特解

设y₁(x)是二阶变系数齐次线性微分方程

Y’’+p(x)y’+q(x)y=0

的一个特解，设y₂(x)=u(x)y₁(x)是它的另一特解，代入原方程，求出一个函数u(x)不恒于常数，则得一与y₁(x)线性无关的特解y₂(x)。

其中特解y₂(x)也可以由待定函数法推导得到的刘维尔公式

计算得到。

2．借助齐次线性微分方程解的结构写通解

二阶齐次线性微分方程的通解可以表示为：以两个任意常数为系数，任意两个线性无关的特解的线性组合，所以通解为

y= C₁ y₁(x)+C₂y₂(x).

代入方程中求出u(x)即可，只要u(x)不为常数，则得到两个线性无关的特解，因此，它们以任意常数为系数的线性组合就是所求通解。

参考阅读：

• 线性微分方程解的结构与刘维尔公式