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大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第15篇。 在我们的中学数学课本中，一元二次方程的解法是基础，但提到一元三次方程，往往就会让学生感到困惑。
这是因为一元三次方程没有一个普遍适用的解法，而是需要针对特定的方程运用特殊技巧才能找到解。 这引出了一个问题：是否存在一元三次方程的通用解法？ 答案是肯定的，但这个公式的复杂性导致它并没有被纳入中学课程。 如今，我们有了计算机的帮助，只需理解方程的意义，就可以让计算机来找到解答。 回顾历史，我们发现在15世纪，欧洲的数学家们对一元三次方程的解法还一无所知。 虽然一元三次方程看上去只比一元二次方程未知数的次数高了一次，但是解决难度很大。在花拉子米发现了一元二次方程通解之后几百年，依然没有人能解决，如 x^3+x+1=0这样的方程的解法。 不过最后还是被解决了，但是，但是，这个发现成了数学史上的一桩著名的公案。 接下来，我们来解读下这个故事。 当时著名的意大利博洛尼亚大学（全世界最早的大学）的数学家希皮奥内*费罗（Scipione del Ferro）和他的学生安东尼奥*菲奥尔（Antonio Fior）都在这个领域做出了贡献。 费罗在临终前将他对一元三次方程的独特解法传授给了菲奥尔，这成了菲奥尔挑战其他数学家的法宝。 但是这个菲奥尔其实一定也不聪明，也不好学，完全躺平。老师之所以把秘密法宝给他，是因为实在没后人传，再加上不放心徒弟的未来！ 而且费罗呢，也知道他这个不争气的徒弟就是个“弟弟”，在他去世前早就把这类方程的通解告诉了自己的女婿安尼巴勒*德拉*纳夫（Annibale della Nave)，以及这个弟弟学生，没有让其他人知道。 后来呢，菲奥尔果然去挑战了名为塔尔塔利亚的数学家，这个数学家因为口吃而得名，本名尼科洛·丰塔纳。 当时的数学界流行通过解题挑战来证明自己的智慧，就是互相PK。 菲奥尔和塔尔塔利亚之间的挑战就是这样开始的。类似，
菲奥尔给塔尔塔利亚出了一系列没有二次项的三次方程，而塔尔塔利亚则给菲奥尔出了一些有二次项但没有一次项的三次方程。
当然，这两类方程的解法各有不同，塔尔塔利亚最终解出了菲奥尔的难题，而菲奥尔则失败了。 之后，塔尔塔利亚花了六年时间完全解决了一元三次方程的问题。 一位名为卡尔达诺的数学家也对这个问题非常感兴趣。 他类三顾茅庐似的去央求塔尔塔利亚那里请教解法，刚开始塔尔塔利亚死活都不说，后来卡尔达诺发了毒誓保守秘密后才在1539年将上述两类特殊的一元三次方程的解法告诉他。 后来卡尔达诺和他自己的学生费拉里一起在塔尔塔利亚的基础上进一步研究，最终找到了所有一元三次方程的通解。 虽然他们很兴奋，但是却不敢公布。 当然，几年后，也就是1541年塔尔塔利亚也发现了所有的一元三次方程的解法，不过他当然死守秘密。 直到1543年，卡尔达诺和他的学生费拉里去访问博洛尼亚，在那里见到了费罗的女婿纳夫，才得知原来费罗早就解决了这个问题。 这下师徒两人终于吼不住了，就1545年的《大术》（Art Magna,数学大典）一书中公开了这一解法，这本书成为了代数学领域的重要著作。 在这本书中，卡尔达诺公开了费罗最早发现的一元三次方程的解法，并在此基础上，费拉里提出了一元四次方程的解法。 尽管塔尔塔利亚对此感到愤怒，认为卡尔达诺违背了承诺，但卡尔达诺辩解称他公开的是费罗的工作而非塔尔塔利亚的。 这件事在当时引起了巨大的轰动，塔尔塔利亚和卡尔达诺的学生费拉里之间还进行了一场数学上的“决斗”，结果费拉里赢得了胜利。 尽管塔尔塔利亚退出了学术界，但今天三次方程的标准解法公式仍被称“卡尔达诺-塔尔塔利亚公式”，大家并不否认他的功绩。 好，我们看下这个一元三次方程的通解公式究竟是怎样个神奇的？ *对于一个标准三次方程：
要算出它的第一个解，需要先算下面三个中间变量。
然后再根据这三个中间变量，按照下面的公式算出第一个解。
这段历史不仅揭示了一元三次方程解法的发现过程，还让我们思考为何中学课程不涉及这个公式。 其原因在于这个解法的复杂性会吓退学生。 相比之下，美国的教学方式更为高效，它教授简单技巧并鼓励学生使用数学软件工具，如Mathematica，来解决问题。
这种方法强调了将实际问题转化为数学问题并利用工具解决的重要性，而不是仅仅依赖于复杂的计算技巧。 这也引出了虚数的概念，因为在解三次方程时，根号内可能出现负数，而三次方程又总有实数解。 虚数的引入是数学家们对这个问题的应对策略，虚数的概念我们明天聊。 总结来说，这个故事不仅讲述了数学史上的一个重要时刻，还强调了数学作为工具的重要性，以及在解决实际问题时应将重点放在概念的理解和应用上，而非仅仅局限于技巧性的解题方法。 它展示了数学知识的层层递进和累积性质，强调了在学习过程中对基本概念的理解和思维方式的培养的重要性。 通过费罗、塔尔塔利亚、卡尔达诺和费拉里的故事，我们看到数学定理的发展过程是如何从基础引理逐渐演化到具有普遍意义的定理的。 这不仅是数学发展的一个缩影，也是学习和理解数学的一个重要途径。 在当代，随着计算技术的发展，我们更应该注重数学思维的培养和问题转化能力的提升，而不是单纯追求解题技巧。 吴军老师说：学习数学的目的不仅是为了解决具体问题，更是为了培养逻辑思维和抽象能力，这对于理解和创新科学技术至关重要。 最后，通过这个故事，我们也可以看到数学史上的一些重要时刻，如虚数概念的引入，这不仅丰富了数学的内容，也为后来的数学和物理学的发展奠定了基础。 这样的历史故事不仅有趣，而且能够帮助我们更好地理解数学概念和公式背后的深层意义。 好，今天就先这样～ 科学羊🐏 2024/01/18 祝幸福~ 参考文献： [1].《吴军*数学通识》 我已经有300+个科普知识啦，小目标1000+，欢迎大家关注，每天给你一个科普知识~ 感恩遇见，喜欢的话点个【在看】，有你们的支持是我最大的动力！ |
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