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一、试卷结构的变化  填空题个数下降，在我看来是变向的降低试卷整体难度。学生在处理填空题时，在解决问题的过程当中只要出现一些细节上的问题或者小的失误，就会导致结果出现错误，又没有选项的提示，得分率相对较低，降低填空题目的数量便可以减少这种情况的发生，变向降低了整体试卷难度。  单项选择题：第1题  单项选择题：第2题 本题基于椭圆离心率求解椭圆方程中参数的一个问题，这个问题重点考查的就是椭圆中的相关概念。对于椭圆标准方程中的三个参数a、b、c而言，它们三个自身存在一个关系，即b、c的平方和的等于a的平方。如果通过题目条件再给出两个关系，三个变量三个关系自然是可以求解的，所以这里是有着方程思想相关考查的。本题当中给出的条件是b的值以及离心率即c和a的比，随后可以选择不同的方式求解方程组，最终得到答案。这里要强调一个解题习惯，就是拿到椭圆或者双曲线标准方程后，一定要首先分析长轴（实轴）的位置，避免出现错误的字母对应关系。  单项选择题：第3题 本题是一个等差数列的相关考查，在上文中也提到过，本题的方法选择对求解本题有很大的影响。对于等差数列而言，其基本量就是数列首项以及公差，即两个变量，题目当中也给出了关于数列自身的两个条件，可以围绕着这两个条件构造方程组求解基本量。这种方法是常见通法，通法适用范围广，但未必是最简单的。本题可以利用等差数列性质实现更快的求解。由第3项和第7项我们可以推理出第5项的值，同时题目给出了第12项的值，那么自然角标和为5+12=17的两项之和都是可以求解的，此时首项和第16项的和可以求解，而这个和就是求和公式中的“首项+末项”的结果，带入求和公式后可以直接求解。这样处理需要一定的观察分析能力，但是运算量和化简的量会大大减少。  单项选择题：第4题 本题是一个立体几何部分比较经典考题形式，让我们根据给出的线、面的空间位置关系来判断新的线、面空间位置关系是否成立。虽然是第四题，但是它出现的位置及考查的方式都是比较常规的。作为选择题而言，找反例否定选项中的结论是比较常见的方法。但是，如果作为日常的练习，尤其是高一高二的同学，还是希望大家可以严格的对一些结论进行证明，还是要去培养自己推理论证的能力的，尤其是哪些基本事实（公理）、定理能直接使用，哪些定理结论不能直接用于高中阶段的立体几何证明，这些意识都是要通过日常练习慢慢建立起来的。尤其是在后期可能出现解答题分值提高的情况下，严谨的推理才能保证过程不被扣去分数。比如本题当中的C选项的证明，通过图形关系感觉结论显然成立，但是要完全利用课本内的定理证明还是有一定难度的，需要涉及到平行的转化。又比如本题当中的D选项，它正确的结论应该是α与β平行（因为强调了是两个平面，所以不能重合），这个结论看上去很直观，同样证明起来也具有一定难度。最后还要强调，日常训练可以证明，但是考试还是通过图形直接分析寻找反例性价比最高。  单项选择题：第5题 本题是一个计数问题，经典的排队背景。在队列中有两组元素是有特殊需求的，自然会利用到特殊元素特殊位置优先排列的方法。本题甲以及乙和丙是两组特殊元素，那么优先排列哪一组都可以完成这个计数问题的。如果优先排列乙、丙，因为乙丙的位置只有两种可能，第一步确定好位置，随后分配乙丙具体的位置，再然后将甲排在非排头的位置，最后再给两个没有要求的人安排位置即可。如果优先排甲，按道理是应该根据甲的位置分三种情况讨论，但是根据对称性，有两种情况计数结果一致，综合来看也就只分了两类进行计数。总体逻辑与第一种方法基本类似，先确定甲的位置，再选择乙、丙位置分布并安排他们具体的位置，最后安排两个没有需求的人的位置。但是第一种方法属于直接分步；第二个属于先分类，再在每一类中分步完成计数。   单项选择题：第6题 本题是一个跨章节综合问题，涉及到了直线方程以及平面向量的坐标表达两个部分的知识内容。作为一个单选题，我们可以直接寻找题目条件背后的几何含义，通过图形直接判断选项。可以在坐标系中做出直线l，并在上面绘制一个向量QP，当动点Q运动起来时，P随着Q的变化形成的轨迹恰好是与l平行的一条直线，以此便可以否定A、B、D选项，只能选择C选项了。如果要严谨说明的话，则需要利用到相关点轨迹方程求解的方法，题目中P是动点Q的相关点，用P的坐标表示Q的坐标，并将其带入到Q所在直线的方程中，便可以得到动点P的轨迹方程了。由于E与l平行，随后利用平行直线的距离公式可以求解出E上动点到l的距离了。到第6题为止，这六个问题的难度并没有很大，而且题目的情景也相对常见，正如前文所说，前6个单选问题比较常规，还是比较容易进行处理的。虽然试卷当中难题是存在的，但不要一直盯着它，不要因为这次考试中的部分难题在日常复习中就一味抓着难题不放，千万不要忽略一些通性通法的学习，拿到该拿的分数才能体现出求解难题的意义，不然难题分数有了，其他地方的分数丢掉，得不偿失。  单项选择题：第7题 本题涉及到了多个三角函数相关的公式，题目在三角函数范围内有较高的综合度，同时还有一定的计算量。题目首先给出了θ的范围，随后给出了θ二倍角和θ和角相关的正切关系。这里我们要意识到，题目给出的这个条件是关于θ的方程，理论上是可以对θ进行求解的。高中阶段我们所谓的求解一个角，更多的情况下是求解出它的某一个三角函数值，对于这个条件，不论是正切的2倍角，还是正切的和角公式，如果我们对这两个公式熟悉，那么它们进行恒等变换之后均只与tanθ相关，也就是说题目给出的条件实际上就是关于tanθ的方程。通过求解该方程并结合θ的范围，我们可以计算出tanθ=-1/2. 此时问题就又变成了利用角的正切去求值的问题，这样看来本就是将两个问题连接在一起形成的一个新的问题，这种出题逻辑很经典，但换句话说就是比较老套。后续求解的式子实际上是可以化为与θ正余弦相关的齐次分式，通过同角三角函数关系化简可以利用tanθ来表示该式，最终求值即可。  单项选择题：第8题 本题是一个双曲线离心率求解的问题，离心率求解通常都是要找到和a、b、c相关的一个关系，结合双曲线中参数关系，即a、b平方和等于c的展开求解。从变量角度来看，三个变量两个关系，虽然不能求解每个变量的值，但是变量间可以相互表达，进而得到c和a的比，也就是离心率。本题首先会考查到双曲线的对称性，因为直线过其对称中心，所以直线与曲线的交点也是关于该中心对称的，这样两个直线与曲线的交点和两个焦点对应连线相互平分，可以形成平行四边形。根据题目条件及双曲线性质，可以将平行四边形四个边均利用a进行表达，但此时仍没有得到字母间关系。想获得字母间关系就需要在具体图形中利用一些定理、公式了。如果围绕焦点三角形解决问题，则可以利用题目给出的向量数量积来计算焦点三角形的一个顶角，随后利用余弦定理建立字母间关系，进而求解离心率。由于题目还存在着平行四边形，直接利用和、差两种形式的极化恒等关系结合题目给出的数量积也可以找到三个字母之间的关系。我也看到有些同学利用中线长公式去解决问题，其本质就是加和形式的极化恒等关系。  多项选择题：第9题 由于多选题的数量下降了，多选题部分的综合程度实际上是有所提升的。本题便涉及到了三角函数的恒等变换以及三角函数图象相关性质两方面内容。题目给出的函数f(x)可以利用辅助角公式进行化简，得到Asin(wx+φ)的形式。对于A选项，涉及到了简单的复合函数和诱导公式的相关知识；B选项则涉及到了正弦相关函数对称轴的求解；C选项涉及到了正弦相关函数的单调性；D选项则涉及到了三角函数相关的值域求解。如果今后多选题和填空题题量减少，这种综合度较强的题目势必会提高出现频率，以平衡题目总量减少带来的知识点覆盖不足的问题。 多项选择题：第10题 本题也是关于复数的一个综合考查，而且本题不同的方法选择耗时差异是很大的。之所以会有这种现象，就是轻视复数部分知识导致的，其实近几年复数部分的知识在高考中也已经不是所谓的送分题了，同时很多高校的自主招生考试当中也都有复数相关的考查。复数如果只了解相关的基本概念以及四则运算是可以解决问题的，但是这样会导致分析问题极其套路化，设出z=a+bi，之后一顿“猛算”。实际上，复数有着丰富的性质，同时有几何含义以及三角表示，本题的四个选项均可以有不同的角度进行分析，所以下面的描述我不再说明利用z=a+bi运算的求解方式了。A选项可以直接通过运算结果进行判断，等号左边可能为虚数，右边一定是实数，这里等式不成立；B选项利用复数与自身共轭复数之积等于模的平方，可以一步得到相应结论；C选项是共轭复数的性质，实际上通过复数的几何含义可以十分直观的理解和说明这个结论，也便于记忆；D选项是最能体现出差异的，如果直接利用四则运算方式分析，运算量极大，实际上《必修二》7.3部分的内容告诉我们复数除法的几何含义就是模作比，辐角做差，那么自然商的模等于模的商。希望通过本题大家可以意识到复数相关的知识是值得深入学习的。 多项选择题：第11题 本意是一个抽象函数性质的相关分析问题，也是近几年比较热门的考查方式，像23年新高考I卷的第11题就是一个相关的考查。抽象函数相关的问题通常都是有两种思路的，第一种可以解决问题但不是十分严谨，就是去寻找这个函数的具体的解析式。本题当中给出的关系由于存在4xy，那么函数f(x)基本上就只能是多项式函数了，其他的函数形式很难出现这样的项。同时等号左侧有f(x)f(y)，那么这个多项式函数是一次的，否则左右关于变量次数是不一致的。基于以上原因我们可以利用待定系数求解函数解析式后进一步分析问题。另外一种求解方式就是比较常规的但是是绝对严谨的，我们通过不同的赋值来分析函数的取值和性质。具体赋值方式看下面解析即可，在此我想强调一下本题的特殊之处，即本题是可以求解出函数解析式的，通过赋值我们得到了f(x-1/2)的解析式，再利用整体代换是可以得到f(x)解析式的。实际上很多函数题目的解析式都是间接给出的，大家一定要熟悉哪些形式相当于告诉了我们函数的解析式，这样才便于处理后续更为复杂的问题。 填空题：第12题 集合的考查放到了填空题的第一个，考查的并不是常规的集合运算，而是基于集合关系求解参数的问题，需要做出一些分析和推理，但难度并不算大。通过集合运算的结果我们可以知道A是B的子集，那么此时便有两种逻辑可以处理本题，第一种就是计算出B中元素的范围，然后使A中元素均在这个范围之内，最终计算出m的最小值；另外一种则是利用子集定义，A中元素均属于集合B，直接将A中所有元素代入到集合B描述法的描述当中去，得到与m相关的不等关系，以此计算m的最小值。 填空题：第13题 本题是空间几何体相关的综合问题，我们注意到，这个问题又是一个综合问题，正如第9题中说的一样，如果出现题目数量减少的情况，题目综合性的提升是在所难免的。题目给出了一个轴截面为正三角的圆锥以及一个以圆锥高为直径的球体，让我们分别分析它们的体积和表面积的比。我们只需要利用圆锥的高分别表示两个几何体的体积和表面积即可。本题的难度实际上并不是很高， 填空题：第14题 本题是填选问题当中考查方式比较新颖同时具有一定难度的问题。题目新定义了一种对集合中元素取最大值的符号，并给从小到大依次给出了a、b、c三个在区间（0,1）上的实数，这三个实数实际上并没有定量的关系，只有定性的限制，总体来看还是不相关的。我个人在解题时，习惯先考虑的还是去分析几个变量之间存在的关系，由于是彼此之间没有定量关系，就会考虑利用不相关多变量问题的思路处理问题。这里观察到集合当中三个元素b-a,c-b,1-c代表的是依次排列在数轴上的点之间的距离，这三段距离之和是1-a，我们便可以先假定a是定值去寻找最值，这其实就是不相关多变量问题的分析思路。如果希望这三个元素的最大值取到最小，就需要这三个距离均相等，具体证明在下面解析中有所说明。此时为了取到最值，b、c就和a有了定量关系，随后再根据题目提供的a、b的不等关系可以计算a的范围进一步求解出最值。除了这种思路，本题还可以对这三个距离进行放缩和配凑去解决问题。在方法二中，用三个距离重新表示a、b，就可以发现每个关于a、b的不等关系都能变为若干个距离的和对应的最值关系，同时这个集合的最大值一定大于等于集合中的每一个距离，所以这里就可以通过放缩和配凑形成关于集合最大值的一个不等关系，进而计算最小值。本题当中的两个条件之间使用“或”进行连接的，这也是与以往很多问题不同的地方，大家如果有兴趣也可以尝试将“或”改为“且”再去尝试求解一下这个问题。 解答题：第15题 本题考查的是导数相关的知识和应用。解答题的第一题就考查导数，相信很多同学都是比较意外的，其实整张试卷从头到尾只有这一个导数问题，还出成这样的难度，我个人觉得不是特别合理，毕竟导数部分的知识是连接着高中和大学数学的纽带。不过确实近几年的高考解答题部分的知识点分布并没有一定之规，其实侧面给我们的复习增加了难度。回到这个问题，第一问通过垂直关系求解切线斜率，由于切点已知，求导后表示斜率便可以计算参数a的值。第二问就是很常规的利用导数分析函数的单调区间及极值的问题了，这里一定要关注到对数函数的定义域，其余的都是导数相关的基本技能考查。 解答题：第16题 本题是一个概率和离散型随机变量相关的问题，其实核心还是去考查分析问题解决问题的能力。近几年高考当中概率相关的考查背景变得逐渐复杂起来，在利用古典概型求解概率时，基本事件个数以及符合某个事件的基本事件个数的求解是这些题目的难点。对于本题而言，其难点也是在于计数。本题的全体基本事件个数的求解比较清晰，就是在总计8个球中选取3个。对于第一问，需要3个球两两不同，那么首先要确定三个标号，随后从每个标号的两个球当中选取一个球即可。第二问中给出的随机变量X为所有球上的最小数字，那么首先我们要写出随机变量的所有取值，即1、2、3，之后分别分析取到它们的概率。这里要注意每个概率的求解都需要进行分类。拿1为例，我们要考虑到取出的三个球中有几个1，如果有1个1，先要从两个标号为1的球中取一个球，同时另外两个球就要在标号为2、3、4的6个球中取；如果有2个1，那么只剩下1个球从标号为2、3、4的6个球中取。对于X=2和X=3也是这样分析的，计算出概率后列出分布列求解数学期望即可。这里强调一下很多同学在求解最后一个概率的时候喜欢用1减去前面的概率之和，这种方式确实可以节约一些时间，但是有一定的风险，因为如果前面的概率算错一个，后面也会跟着发生错误了。我个人比较建议每个概率都去求解一下，最后通过加和为1对概率求解进行检验。当然，对自己概率运算十分自信的同学是可以用这种方法的。本题总体来看难度适中，并没有很困难。 解答题：第17题 本题是一个立体几何和空间向量相关的问题。正如很多同学吐糟的一样，现在横平竖直的立体几何题越来越少了，斜棱柱、切割体这种有些“眼歪嘴斜”的几何体比比皆是。本题其实就是围绕着一个斜棱柱展开的。斜棱柱相关分析最重要的是去分析上下两个底面在俯视图中的位置关系，而第一问证明线面垂直就是为了确定上底顶点在下底的投影。关于第一问，由于给出了角C1CB和角C1CD相等，这种条件出现之后，围绕着这两个角对应的侧面大多具有对称性，所以这里可以利用对称的关系去寻找垂直，说白了就是等腰三角形三线合一。我们利用两个三角形全等可以得到C1BD为等腰三角形，从而得到C1O与BD垂直。C1O与BD垂直的证明也可以利用空间向量进行说明，主要原因也是因为存在两个角相等，可以构造出数量积相等来进行证明。另外一个垂直关系则需要利用余弦定理进行简单的计算了。其实这个几何体给出了全部的棱长数据，当条件中棱长数据给的很充分的时候，那么很有可能证明过程中就需要利用到三角形相关（勾股定理、余弦定理）的运算去解决问题了。对于第二问就相对简单常规了，通过第一问垂直关系的证明，以OB、OC、OC1分别为x、y、z、建立空间直角坐标系，对于整体比较“倾斜”的几何体，建议大家可以通过整个几何体俯视图去分析点的坐标，确定好坐标之后就是空间向量问题求解的常规思路了。 解答题：第18题 本题开始，解答题难度有了极其明显的提升，本题是一个围绕着抛物线的解析几何解答题，其实在小题里面已经有了椭圆和双曲线，自然此处就应该是一个抛物线的问题了。本题的第一问就有了以往第二问的感觉，让我们证明直线过定点，其实这样难度特点的考查方式在高考中已经出现了。对于定点问题而言，一般可以走两种思路，第一种就是顺着题目给出的绘图顺序去表示相应的点和直线，最终表达出这条直线的方程，随后利用点斜式分析它是否过定点；另一种思路就是通过猜想先分析出定点，再证明三点共线说明直线恒过定点。下面的解析我也给出了两种不同的处理方式，另外本题在处理时也可以利用点差法去表示中点M、N的坐标，但由于点差法只能解决与交点坐标之和相关的问题，而第二问中的<方法二>需要利用到交点坐标乘积，所以并没有在解答中进行说明，大家可以自行尝试处理。第二问的面积求解会有两个方向的思路。第一种思路是考虑面积转化，因为三角形GMN并不是形状特殊的三角形，而且直接求解三角形的底和高也比较困难，所以才会考虑转化面积。我个人习惯用解答中给出的[思路3]即向量的叉乘运算来进行面积转化，这种方式依赖计算不过分依赖对于图形的观察，不过只是通过它发现面积转化关系，后续说理证明还是要利用到平面几何的方法，如[思路1]和[思路2]。转化后会发现所求三角形面积可以与对角线相互垂直的四边形ADBE面积之间产生关系，进而求解四边形面积最值即可。第二种思路则需要结合题目极点极线的背景以及第一问证明的结论展开。点G在点F对应的极线上，那么点G横坐标是定值，同时MN过定点，所以考虑是否可以围绕着这两个“定”来解决问题。这里需要利用铅锤高乘以水平宽去表示面积，因为水平宽可以和两个“定”产生联系，而铅锤高就是两个中点的纵坐标做差。其中铅锤高的最值比较好求解，水平宽的最值直观观察可以猜想就是定点（3,0）到x=-1的距离，不过说理有一定困难。这两个量取等条件一致，所以可以计算出最终的面积最值。 解答题：第19题 如果第18题是常规意义上的我们可以想象的难题的话，第19题的难法就有点超出很多同学的想象了。这个问题是一个数论相关的问题，如果对于学习过数学竞赛的同学来说，本题可以通过一系列同余的性质以及费马小定理进行求解，但是并不知道评分细则里面这种方法会给出多少分数。而且对于本题而言，我个人也只想出来这种处理办法，我可以看出题目给出的一些信息是为了利用它去避开费马小定理、避开完全剩余系，但可能因为我自己就是搞竞赛出身的，实在是绕不开固有逻辑了。实话讲我自己是没有办法在考场上想出来一个绕开费马小定理的解法的，可能只会证明一遍再去解决问题。所以后边我也会附上评分参考当中给出的答案。很抱歉个人能力有限，虽然利用以往的竞赛知识解决了问题，但是真的不知道该如何避开这些数论知识直接引导大家去解决这个问题。所以本题的解答我给出了数论当中一些常用的符号、性质以及定理和推论用于证明这个题目，有能力的同学可以去阅读一下。关于本题我想谈谈我的想法，明显这个题目的设置就是为了提高选拔性的，但是从课程标准出发，数论的内容在2017年课程标准当中的E类课程中，这类型课程涉及到一些校本课程以及大学先修课程，对于绝大多不搞竞赛的数学校来说，校本课程当中是不会设计数论知识的。在老教材中还有一本书选修4-6讲解初等数论，而现在普遍使用的新教材当中是没有任何章节涉及到数论的，如果非说有，可能就是课本边边角角处关于一些数论名词（比如：素数）的解释了。如果今后的压轴题目是这种考查方向，那通过这个题目筛选出来的一定是有着良好数学学习经历或者极具数学天赋的考生了。所以对于本题来说，尤其是高三的同学，不要过分关注，还是要把前面的问题处理好才是关键。 【评分参考】提供的答案解析 版权声明：本文来源于网络。以上图文贵在分享。如有侵权请联系删除。 |
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