【原】矩阵的逆的求解机理

矩阵的逆

与线性方程组相关的是矩阵的逆。

对于一个 矩阵 ，如果存在一个 矩阵 ，使得 ，则称矩阵 是非奇异的（可逆的）。矩阵 被称为 的逆。没有逆的矩阵称为奇异的（不可逆的）。

矩阵的逆的性质：

对于任意非奇异的 矩阵 ：

• (i) 是唯一的。
• (ii) 是非奇异的，且
• (iii) 如果 也是一个非奇异的 矩阵，则 。

设

证明，并且线性方程组

的解是，其中是是由2、3和4组成的列向量。

解：首先注意到

类似地，，因此和都是非奇异的，其中且。 现在将给定的线性方程组转换为矩阵方程

并将两边都乘以，即的逆矩阵。因为我们有

我们有

和

这意味着 并给出解 和 。

虽然如果已知 ，解一个形如 的线性方程组很容易，但要确定 以解决方程组并不是计算效率高的方法。 即便如此，从概念上讲，描述确定矩阵的逆的方法是有用的。

假设 是非奇异的，要找到计算 的方法，让我们再次看看矩阵乘法。 让 是 矩阵 的第 列，

如果 ，那么 的第 列由乘积给出

假设存在且。那么，且

要找到，我们需要解维线性方程组，其中逆矩阵的第 列是右侧项为 的第 列线性方程组的解。下面的示例演示了这种方法。

示例：确定矩阵的逆

让我们首先考虑乘积，其中是一个任意的矩阵：

如果，那么，因此

注意到每个方程组中的系数是相同的，方程组中唯一的变化发生在方程的右侧。因此，可以在一个更大的增广矩阵上执行高斯消元，该增广矩阵由每个系统的矩阵组合而成：

首先，执行和，然后执行 ，

向后替换是在三个增广矩阵中的每一个上执行的，

最终得到

这些是的元素：

正如我们在示例中看到的那样，为了计算，设置一个更大的增广矩阵是方便的:

进行消元，我们得到一个形式为

的增广矩阵，其中 是一个上三角矩阵， 是通过对单位矩阵 执行与将 转换为 相同的操作得到的矩阵。

从上三角矩阵 到

完成将 转换成 后，我们得到了一个新的增广矩阵形式:其中， 是上三角矩阵，而 是通过对 执行与将 转换为 相同的操作得到的矩阵。接下来，我们需要通过进一步的行操作将 转换为单位矩阵 ，这个过程称为高斯-约当消元。

1. 反向消元: 从最底部的行开始，我们使用行加减操作，消除每个元素上方的所有非零元素，直到所有非对角线元素变为 0 ，而对角线元素都是 1 。这样， 最终会被转换成单位矩阵 。
2. 得到 : 在将 转换为 的同时，增广矩阵的 部分也经历了相同的变换过程。因此，当 完全变为 时， 就变成了 。

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一般方法

要求矩阵 的逆，可以使用高斯-约当 (Gauss-Jordan) 消元法，这是一种通过将矩阵转换为行最简形式来找到逆矩阵的方法。具体步骤如下:

1. 构建增广矩阵: 首先，将矩阵 与同阶单位矩阵 放在一起形成增广矩阵。这样做的目的是同时对 和 进行行操作，最终将 转换为 ，同时 会变成 的逆矩阵。增广矩阵的形式如下:

2. 应用高斯-约当消元: 通过行交换、行加减、乘以非零常数等行操作，将矩阵 的部分转换为单位矩阵 。这些操作同时也应用于增广的部分（原单位矩阵 的部分）。
3. 获得逆矩阵: 当 的部分被转换为单位矩阵 时，增广部分 (原单位矩阵 的位置) 变成了 的逆矩阵 。

参考书籍：Numerical Analysis Tenth Edition (Richard L.Burden...)