数学到底是什么——数学本质之旅

我们都知道数学是什么，对吗？它与数字和图形有关，也许与一些向量和导数有关。但数学的意义远不止于此。我并不是说数字不是数学的一个组成部分，它只是整个数学的一小部分。所以这期我们来尝试了解一些数学里面核心的东西。

使命：概括！— 第一步：抽象启动

自然数非常独特且实用。比方说我可以穿着一双双鞋，戴着一顶帽子去拜访两个不同的朋友。问题是，它们的实用性来自于我们的解释。数字本身并不一定要计算事物。因此，有了这种洞察力，让我们尝试更好地掌握自然数的概念。自然数的基本性质是：

如果将两个自然数相加，结果是另一个自然数。

例如：5+3 = 8。用数学家的话来说，我们说自然数在加法运算下是“封闭的”。现在，假设我们改变了书写数字的方式，我们在每个数字之前添加字母“a”。例如，1变为a1，23 变为a23，依此类推。加法规则仍然适用于这个新的数字概念，唯一改变的是数字的表示形式。a1 + a1 等于 a2，就像 1 + 1等于 2一样。

正如我们所看到的，数学的第一步是将我们的数学对象从其特定的表示中剥离出来。这种见解非常有力，因为它表明数字只是符号，而我们的“常规”加法只是从现有符号生成新符号的一种方法。

现在我们更进一步。我们观察到自然数有一个基本属性，我们能否找到其他具有相同属性的“数类型”在加法下是封闭的？让我们尝试构建我们自己的数字类型。

将字母“a”和“b”作为我们的数字（或符号），并定义“加法”规则如下：

1. a + b = b

   a+a=a

2. b + b = a

这里我们有两个符号和一个加法规则，使得这两个符号的加法产生另一个符号。我们刚刚发明了我们自己的数字类型！我们只需要遵循一个规则，那就是我们的“新数字”'a' 和 'b' 必须在我们的加法规则下封闭。

有许多符号系统在某些加法规则下是封闭的。这里引入了数学中最基本的概念之一。由于所有这些系统都遵循加法封闭的规则——我们将它们赋予一个新的数学对象，称为“幺半群”。

一个幺半群包括：一组符号。符号的加法规则。条件是任意两个符号相加的结果仍然是一个符号。

将一组遵循共同条件的对象或系统指派给一个概括的抽象数学对象的这个概念称为抽象化，这是理解数学实质的第一步。

使命：泛化！——第二步：施加和移除约束 

正如我们所见，抽象化允许我们将事物泛化为由一组对象及其管辖规则构成的抽象概念。通常，这些规则指定了哪些对象允许存在于抽象化中以及它们之间的关系。换句话说，它们对对象及其相互关系施加了一些限制。

这些限制使数学变得有趣。如果我们可以随意做任何事情，那就没有什么可研究的了。例如，让我们看看自然数和整数。自然数是整数的一个子集，但它们之间的关系不是任意的。整数是自然数的泛化，但它有一些自然数没有的附加属性。例如，整数有负数，而自然数没有。换句话说，如果我们施加一个条件，对于任何数（或符号）必须有一个逆数（或符号），那么我们得到的就是整数。

结合性和存在单位元素一起，整数形成了一个群。群是一个由以下部分构成的数学对象：

一组符号。符号的加法规则。存在一个单位元素。集合中每个元素都存在逆元素。加法规则的结合性。

非欧几里得几何——充满可能性的新世界

欧几里得在其不朽著作《几何原本》中的主要目标之一是从一小组公理中推导出所有的几何学。这是一种非常成功的方法，因为它允许对几何进行非常系统和严格的处理。不过，他遇到了一个小问题。他的公理之一，即平行公设，并不像其他公理那样不证自明。

欧几里得几何的四个公理是：

1. 两点确定一条线。

2. 一条线在两个方向上都是无限的。

3. 可以以任意圆心和任意半径绘制圆。

4. 所有直角都相等。

第五个假设，即平行假设，指出：

如果一条线与另外两条线相交，并且一侧的内角之和小于 180 度，则两条线将在该侧相交。

这个公理让欧几里得感到不舒服，因为它不像其他公理那样不证自明。他试图用其他公理来证明这一点，但失败了。这是数学史上第一次有一条公理不是不证自明的。这是一件大事，因为它为不同几何形状的可能性打开了大门。

数百年来，数学家试图从其他公理证明平行公设，但他们失败了。这是一个大问题，因为它意味着平行公设独立于其他公理。这是一件大事，因为它意味着存在与欧几里得几何的其他公理一致的不同几何。

在19世纪，数学家开始研究去除平行公理的后果。高斯、波利亚和洛巴切夫斯基发现了非欧几里得几何，这些几何学与欧几里得几何学的其他公理一致，但不满足平行公理。例如，在双曲几何中，平行公理被替换为这样的声明：通过一个点且平行于给定直线的直线有无限多条。在椭圆几何中，平行公理被替换为这样的声明：没有平行线。

通过施加和移除限制，形成了新的数学理论种类，发现了新的数学对象。换句话说，这两个步骤结合抽象化，是数学中泛化过程的基石。

将两个步骤结合起来：函数

在前面的部分，我们探讨了抽象和泛化的概念。现在，我们有了一些抽象的数学对象，或多或少是泛化的，我们想看看它们之间是如何相互作用的。这就是函数概念发挥作用的地方。

函数的概念可能是数学中最基本的概念之一。通常在数学中，圣杯是找到一个函数，它保留了我们对数学对象施加的一些限制。例如，在微积分中，我们处理许多连续函数，这些函数保持了实数的连续性。实数与自然数或甚至有理数不同的一个最重要的属性是它们是连续的。这意味着实数中没有“洞”，实数中没有“跳跃”。这是一个非常重要的属性，因为它允许我们进行微积分。因此，为了进行微积分，我们需要保持实数连续性的函数。

这不仅适用于微积分，也适用于数学的许多其他分支。对于任何“类型”的数学对象，都有一些我们希望保留的独特的“特性”或“属性”，对于每一个特性或属性，我们都尝试找到一个能够保留它们的函数。

现在来到重点。在理解了抽象、泛化和函数在数学中的关键作用之后，我们可以尝试阐述数学的真正含义。

还记得我们说过抽象允许我们确定两个独立的事物“实际上是相同的”吗？通过找到一个合适的函数，我们可以尝试确定两个不同的数学对象“实际上是相同的”，或者它们有多相似，这取决于某种抽象的概念。

用伟大的数学家亨利·庞加莱的话来说：

“数学是给不同的事物赋予相同名称的艺术。”