为什么需要证明「1 1=2」?

1+1=2不需要证明？我原来也想过，谁会去证明这么无聊的问题，可是学了高等数学就会发现自己太naive了。

数学是数学家构造出来的一个世界，那么自然数的构造就是数学世界的开天辟地。

我思考1+1为什么等于2实际上是在思考为什么自然数列是连续的。为什么99之后不是0?或者

甚至是这样的：

皮亚诺公理

意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面。

皮亚诺的这六条公理用非形式化的方法叙述如下：

• Ⅰ 0是自然数；

• Ⅱ 每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。）

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

• Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。

• Ⅳ如果自然数b是自然数a的后继数，c=b，那么自然数c是自然数a的后继数，同一个自然数的后继数都相等；

• Ⅴ如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b = c；

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

• Ⅵ设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)

注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。

若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。

加法的定义

我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

Ⅰ ∀m∈N，0 +m =m；

Ⅱ ∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

1+1=2

1 + 1

= 0’ + 1 （根据自然数的公理）

= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）

= 1’ （根据加法定义Ⅰ）

= 2 （根据自然数的公理）

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自然数和加法是数学世界的根基（当然还有集合论等，忍不住还是严谨一下），在这个基础上数学世界越来越辉煌，如果1+1不等于2了，那也许整个数学界的理论就靠不住了，所以，这就是为什么需要证明“1+1=2”

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