数学真的是显而易见的吗？从1 1说起

在网上，关于数学人们经常提到哥德巴赫猜想，也就是1+1，这里，有些同学经常会犯一个小错误，哥德巴赫猜想简写为1+1，而不是1+1=2，所以我们讨论时要说1+1解决了没有，而不是1+1=2被证明了没有。很多同学回帖也会说1+1=2不是显然的吗？这还要证明？

等等~~~~~1+1=2这个三岁小朋友都知道的算式真的不需要证明吗？

我们首先来看关于数学最关键的三个概念：定义，公理，定理

定义：比如什么是直线，什么是圆，什么是点

公理：例如欧式几何五大公理

定理：是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

这里注意一下关于定理的描述，证明为真的陈述？这又是什么意思？在生活中，证明一词往往强调结果的真实性，比如，我拿出我的身份证可以证明我是个男人，这个证明强调我是男人这个结果的真实性。但在数学中，“证明”仅仅强调一定条件下命题之间的逻辑正确，也可以理解为程序正义。它不管你最后结果对不对，它只在乎你的过程是否正确，通过正确的过程哪怕推导出完全无法接受的结果，那么在数学上，也是正确的。所以才有关于欧几里得第五公理不同的表述而推导出的完全不同的几何学，在数学上，他们都是正确的。

在上面三个概念中，不需要证明的只有定义和公理，那么1+1=2是定义吗？不太像啊，如果这是个定义，里面又包含了关于自然数的定义，关于加法的定义，关于等号的定义，这些合起来形成一个关于1+1=2的定义？这未免有些太复杂，这是数学家不能容忍的。想当年，仅仅因为欧式第五公理的表述稍微长了一点，数学家就不能忍，然后创造出了非欧几何，现在你说一个包含这么多概念的算式是一个定义，数学家不得疯了？那么他是一个公理吗？在数学中，公理都是用来推导其他命题的起点，它本身一般具有表述唯一性。如果说1+1=2是公理，那么他和0+1，1+2，2+2这些算式又有什么不同呢？这些算式我们又该如何去表述，这些算式也是这个公理的不同表述或者通过这个公理推导出的结论？好像在严谨的数学语言中都不太合适。

1913年，数学家罗素的数学巨著《数学原理》一书出版，这本巨著主要目的是说明，所有纯数学都从纯逻辑前提推导的，并且只使用可以用逻辑术语定义的概念。全书洋洋洒洒近两千页，对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大影响。但是请注意下图：

What the hell is that？

图中页中圈示部分中文意思为：从这个命题出发，当算术加法被定义时，我们得到了1+1=2。

对的，你没有看错，这本旷世巨著从一开始，用了300多页只为证明一个结论：1+1=2！！！

一个如此显而易见的，连三岁宝宝都知道的，简单的不能再简单的算式居然让一个伟大的数学家花了整整三百页的证明来推导。

惊喜吗？意外吗？震惊吗？数学家一定是一群疯子

皮亚诺

当然，今天我们一般不会给学生去布置作业说让你去证明这个结论，如果需要，我们可以从自然的基础公理：皮亚诺公理简单的推导出这个结论，完全不需要300页。皮亚诺公理在算数中的地位如同欧几里得公理在几何中的地位一样。在这里我们用非数学语言简单表述一下皮亚诺公理：

• 公理1：0是自然数；
• 公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数Sa，Sa 也是自然数；

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

• 公理3：0不是任何自然数的后继数；

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，3其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。

• 公理4：不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3，0.22），同时也为了满足计算规则的需要，我们加上最后一条公理。

• 公理5 (归纳公理)：任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，对Sa 也为真。那么，命题对所有自然数都真。

第五条看似一个简单的表述，但其实非常非常重要，非常多常用的、重要的定理，都需要用归纳公理证明，它是数学归纳法的基础。加法结合律，乘法结合律，以及许许多多的数学定理都依靠这条公理。

现在我们可以证明1+1=2了吗？显然不行，因为我们还没有定义加法，我们现在来定义加法：

Ⅰ、∀m∈N，0 +m =m；

Ⅱ、∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'（ '表示后继数）

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

终于可以开始对于1+1=2的证明了：

1 + 1= 0’ + 1 （根据自然数的公理）=(0 + 1）’（根据加法定义Ⅱ）= 1’ （根据加法定义Ⅰ）= 2 （根据自然数的公理）

怎么样？是不是简单明了？同时，根据皮亚诺公理，自然数的减法，乘法，加法结合律，乘法结合律等等都可以得到证明。至此，对于自然数的四则运算终于有了一个严密的推论。

现在估计又有同学要说了，既然欧式几何第五公设不同表述可以得出完全不同的几何学，那么，自然数是不是也是这样呢？

当然是的，前面就说了，数学不以客观正确为目标，他只关心过程，这样，我们把第五公理修改一下改为

公理5：除了0以外，每一个自然数都是另外一个自然数的后继数。

好像是一句废话是不是？但是严谨的数学中没有废话，这个公理一改，推导出了完全不同于我们在学校学习的关于算数的知识，它叫做Robinson算数，它是于1950年被美国数学家Raphael M. Robinson首次提出的。事实上，Robinson算数系统在如此定义了自然数之后，还能完美定义加法、乘法、甚至积分等各种运算，并且同样也能将自然数完美地扩展到有理数域，甚至是实数域……我们日常生活用到的各种计算，基本上用Robinson算数系统也完全可以毫无压力地推导出来。但他和我们的皮亚诺算数系统相比少了什么呢？他少了很重要的一个推论：数学归纳法。所以，在Robinson算数中会有一些有趣的结论：

我们的数学中(x + y) + z = x + (y + z)，但在Robinson算数系统，这是无法证明的一个命题，同时有意思的是，这也是一个无法证伪的命题。还有诸如x+y=y+x，1*x=x这些显而易见结论，在Robinson算数中都是无法使用的。同时，这些命题也是既不能被证明也不能被证伪的命题。看来Robinson算数系统很不完美啊，那么我们的皮亚诺算数系统就是完美的吗？

不~~~，如此简单的关于自然数的公理，无论你给他再加多少强化细分的公理，在我们的皮亚诺算数系统中，也存在存在既不能被证明也不能被证伪的命题！

曾经以大神希尔伯特为首的很多数学家，努力建立着一个完备的数学大厦，在这个大厦中，通过一系列公理我们可以推导出所有的数学定理，并且可以验证所有的数学命题，这将是多么完美的一个数学王国。

然而1931年，美国数学家哥德尔提出了哥德尔不完备性定理，将数学家们的美梦击碎了。

哥德尔不完备性第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等算数的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。

哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

也就是说我们永远无法找到一组能够概括出真正的自然数的所有性质的公理，简简单单的1，2，3，4.......................对于我们来说还将永远充满未知与谜团。

一个简单的1+1=2的算式引申出如此多的论述，在数学世界中，没有什么是显然的，按照现今对于科学的定义，数学甚至不属于科学，数学是科学可以使用的工具，但本身并不是科学，数学与这个客观世界无关。在自然科学中，比如物理，化学，我们强调通过观察现实世界得出结论，而数学不是，数学的任何一个命题都必须要通过严格的证明才能去使用，哪怕它看上去多么的简单，或者多么的不可思议。比如下面这个命题：一个平面上的圆可以将一个平面分割成内外不相连的两部分，这是不是很显然的？但在数学中，你需要去证明他的正确性或者它的错误，而不是从日常经验显然的得出这个结论。所以在数学中，结论确切的命题被称为定理，它无论过多少年，无论在哪个宇宙，都是亘古不变的，而在物理中，我们通过认知这个客观世界总结的规律被称为定律，比如牛顿三定律，欧姆定律，熵增定律等等，他只是在我们现今认知水平的情况下，对事物的总结，它永远正确吗？不，有句话是这样说的，没有一条物理定律是真理，物理定律就是用来推翻的。

其实数学也没有想象中那么难，数学世界就两件事情：第一：这也能证？第二：这还用证？