最优停止法则-麦穗理论

退思斋1964 2024-04-13 发布于北京

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最优停止法则-麦穗理论

看到一个最优停止法则-麦穗理论，故分享给读者，并通过Matlab进行结果验证

麦穗理论

　　有一天，柏拉图问老师苏个拉底什么是爱情?老师就让他先到麦田里去，摘一颗全麦田里最大最金黄的麦穗来。期间只能摘一次，并且期间只能向前走，不能回头。

　　柏拉图于是按照老师说的去做了，结果他两手空空的走出了田地。老师问他为什么摘不到？

　　他说：“因为只能摘一次，又不能走回头路，期间即使见到最大最金黄的，因为不知前面是否有更好的，所以没有摘。走到前面时，又发觉总不及之前见到的好，原来最大最金黄的麦穗早已错过了。于是我什么也没有摘！”

　　老师说：这就是“爱情”。

　　之后有一天柏拉图问他的老师什么是婚姻？老师就叫他先到树林里，砍下一颗全树林里最大最茂盛的，最适合放在家做圣诞树的树。期间同样只能砍一次，以及同样只能向前走，不能回头。

　　于是柏拉图又照着老师的话去做。今次，他带了一颗普普通通，不是很茂盛，也不算太差的树回来。老师问他：怎么带这颗这么普通的树回来？他说：“有了上一次的经验，当我走到大半路程还两手空空时，看到这颗树也不太差，便砍了下来，免得错过了后，最后有什么也带不回来。”

　　老师说：“这就是婚姻！”

数学解答

　　现在我们用数学的角度来讨论这个问题。

　　假设我们碰到的麦穗有n个，我们用这样的策略来选麦穗，前k个，记住一个最大的麦穗记为d（可能是重量，也可能是体积），然后k+1个开始，只要大于d的，就选择，否则就不选择。

　　对于某个固定的k，如果最大的麦穗出现在了第i个位置（k<i≤n），要想让他有幸正好被选中，就必须得满足前i-1个麦穗中的最好的麦穗在前k个麦穗里，这有k/(i-1)的可能。考虑所有可能的i，我们便得到了前k个麦穗作为参考，能选中最大麦穗的总概率P(k)：

　　设k/n=x，并且假设n充分大，则上述公式可以改为：

　　对-x·lnx求导，并令这个导数为0，可以解出x的最优值，它就是欧拉研究的神秘常数的倒数——1/e。

　　所以k=n/e.

　　如果你想摘取最大的麦穗，假设有n个麦穗，你应该先将前n/e个麦穗作为参考，然后再k+1个麦穗开始选择比前面k个最大的麦穗即可。

e = 2.718281828459，1/e = 0.36787944117144。

其他例子：

一、一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗。

答案：首先，这个题目说的，并不能完全拿到最大的钻石。但可以保证拿到最大钻石的概率最大。10/e = 3.67，向上取整，得4。则：前四层皆不取，只记下最大的。后面遇到的，只要比前面最大的还大，取之。即可。

二、秘书问题。在机率及博弈论上，秘书问题（类似名称有相亲问题、止步问题、见好就收问题、苏丹的嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等)内容是这样的：要聘请一名秘书，有n人来面试。每次面试一人，面试过后便要即时决定聘不聘他，如果当时决定不聘他，他便不会回来。面试时总能清楚了解求职者的适合程度，并能和之前的每个人作比较。问凭什么策略，才使选得到最适合担任秘书的人的机率最大？

实验证明

基本思路

数组里存放 1-100，数字越大代表男生的质量越高，将数组随机打乱。从样本容量为 1 开始到 99，在每一个样本容量里，循环执行 10000 次算法，用计数器来计数选到最大数字的次数。

核心算法: 记录随机数组中最大的数和指定样本容量中最大的数，将备选区间里的数字和样本容量最大的数字比较(备选区间按照顺序比较)。如果备选区间内的数字比样本容量中最大的数字大，则选择该数字。如果一直比样本容量中最大的数字小，则往后顺延。用计数器记录成功选到最优秀数字的个数。

实验代码

clear
clc
close all
num = 100;
rng default
loop = 100000;
result = zeros(1,num);
for i = 1:num-1
    for k = 1:loop
        a=randperm(num);
        [max_a,index] = max(a);
        max_1 = max(a(1:i));
        for j = i+1:num
            if max_1<a(j) 
                if j==index
                    result(i) = result(i) + 1;
                end
                break
            end
        end
    end
end
figure
plot(result)
[max_result,index_result] = max(result)