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我相信大多数人在初中的时候就已经了解到三角形的面积公式1/2 × 底 × 高，在高中的时候我们还会了解到利用1/2×ab×sinC同样可以计算三角形的面积，但现在如果我们仅仅知道三角形的三个边长，这当然可以完全确定一个三角形，自然地也会知道面积，可是具体该如何计算呢，这就是著名的海伦公式。
注意 这里的s是三角形 ABC 周长的一半，在这期中我们会看一下海伦公式的一个美丽证明，令人惊讶的是它是从四边形开始构造的，用到的数学也并不是很复杂，希望我们能欣赏到这个证明的美妙之处。从一个内接四边形ABCD开始，AB、BC、CD和DA变的长度分别为a、b、c和d，如图所示。
现在∠BAD=θ。由于内接四边形的对角和为180度，我们可以推导出 ∠BCD=π-θ，这里我们再把BD连接起来。
我希望考虑 BD 的长度，更具体地说如何用 a、b、c、d 和 θ 来表示它？通过连接BD，我们将四边形分成了两个三角形 ABD 和 BCD ，沟通角度和边长的强大工具便是余弦定理，所以让我们尝试找到 BD 长度的两个不同表达式
也许到这里对于我们的目的地并不明确，或者你看不到我们为什么用边长来求cosθ 背后的动机。希望在下一部分中我们可以开始整理出要去哪里的想法。不过要记住的是我们在尝试推导三角形的面积。 您可能已经看到我们接下来将考虑四边形的面积。注意，四边形的面积等于三角形 ABD 和 BCD 的面积之和。这里为了方便起见将四边形 ABCD 的面积记为Q。通过三角形面积等于1/2×ab×sinC 这个公式，我们可以找到用 a、b、c、d 和 θ 表示的 Q 表达式。由此我们得到：
现在我们已经得到了 sinθ 和 cosθ 的表达式，我想利用另一个臭名昭著的恒等式 sin²θ+cos²θ ≡ 1。让我们来做一些复杂的运算吧：
这看起来有些有希望。我们利用两个平方的差来快速进行一些简化
快了快了，我们好像要达到目的了，引入变量s，其中s=1/2(a+b+c+d)。一些目光敏锐的数学家还会注意到 s-a=1/2(b+c+d-a) 以及 s-b、s-c 和 s-d的类似结果。
这看起来非常有前途，和我们要推导的表达式已经很接近了，剩下要做的就是让d接近0。当我们这样做时，当B点和 D 点重合时，四边形 ABCD “变成”三角形 ABC。d 趋于 0，s此时=1/2(a+b+c)，我们得到 Heron 公式
您可能会认为，由于我们开始的时候使用的是一个圆内接四边形，这个公式的适用性受到了限制，因为众所周知，并非所有的四边形都是圆内接的。然而，请记住，每个三角形都是圆内接的，因此这个公式对所有三角形都是适用的。很奇妙的一个利用极限的证明，希望你能喜欢，而不是喜欢像是利用类似的图做出的证明，这也说明了为什么我们总是希望能够把数学做更高一级的抽象，好了，我们下期见！
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