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义务教育数学课程标准（2022版），在数与代数领域，小学阶段划分为“数与运算”主题、“数量关系”两个主题。 第一个主题是“数与运算”，充分的体现数和运算贯通，使得他们具有一致性。将来教材的编写也要加强数的认识和运算的关联。 第二个主题就是”数量关系”。 我们看什么是数量关系？ “数量关系”主要是用符号(包括数)或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程,感悟加法模型和乘法模型的意义,提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力,形成模型意识和初步的应用意识。它是以现实世界种种现象中的数量及其关系为对象。 在这部分内容的教学中，要创设情境，引导学生经历建立模型和应用模型解决问题的过程，体会模型的价值，发展模型意识。 而模型意识指导下的教学，要让学生“知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径”，并感受模型的普适性，认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念和方法予以解释，即要突出解决现实世界中的“一类”问题。 新课标将“方程”跟“反比例”移到了初中，但是不要以为“方程”拿走了，“反比例”拿走了，会降低学生代数思维能力的培养。恰恰相反，新课标保留了用字母表示数和数量关系，保留了等式的基本性质，使得我们能够重新对数量关系进行思考。“数量关系”是首次如此明确的提出，且被置于与数与运算同等重要的位置。从应用题到问题解决，再从问题解决到数量关系。 具体不同阶段内容要求的重点不一样，这也是阶段性。 前模型阶段就是第一学段 第一学段中重点是：在简单的生活情境中,运用数和数的运算解决问题,能解释结果的实际意义,形成初步的应用意识。这就是我理解的前模型阶段 建立与应用模型解决问题阶段就是第二学段 第二学段中重点是：在解决实际问题的过程中,能结合具体情境,选择合适的单位进行简单估算,体会估算在生活中的作用。在具体情境中,认识常见数量关系:总量=分量+分量(例13见课标105页)总价=单价×数量、路程=速度×时间;能利用这些关系解决简单的实际问题；能解决生活中的简单问题,并能对结果的实际意义作出解释,经历探索简单规律的过程(例14见课标22版105页）,形成初步的模型意识和应用意识。 模型的拓展是第三学段 第三学段重点是：能在具体情境中,用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律,感悟用字母表示具有一般性；能在具体情境中判断两个量的比,会计算比值,理解比值相同的量,能解决按比例分配的简单问题； 能在具体情境中描述成正比的量。y/x=k(k≠0),能找出生活中成正比的量的实例;能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图了解y=kx(k≠0)的形式,能根据其中一个量的值计算另一个量的值。 模型是对数量关系的一般化表达，对四则运算的抽象。 虽然三个学段的要求不一样，但是这三个阶段是进阶的。 加减数量关系的核心是加法模型（总量=分量＋分量）意思是一个整体是两部分合成。它的变式是分量=总量-分量。加减模型是数量关系的大观念，从一年级开始就开始学习，随着学习的不断深入，在不同的阶段就有不同的表现形式。首先是理解加法的意义是表示数量的合并。实际上理解有合并、移入、增加、继续往前数等模型。加法模型的几何直观可以理解为两条线段（多条线段）合并后的长度。学生在一年级的时候就有了这个模型，学生可以体会其中的意义。请看下图
学生感悟加法的本质就是几部分合并成一个整体很重要。减法的意义就是表示两个数量相差。实际上可以理解为剩余、比较、往回数、减少、或者加法的逆运算。学生感悟减法的本质就是从整体中去掉若干部分求剩余的部分很重要。从知识结构来看，加减法是其他运算的基础，各种运算也是加减法延伸而来的。 乘除数量关系的核心是乘法模型（总数=每份数×份数）乘法模型可以作为相等的数的和、面积模型、倍数等的模型。乘法模型还有总价=单价×数量，意思就是表示一个数量是另一个数量的倍数关系，也可以理解为特殊加法模型（相同加数的和），路程=速度×时间，也是一种乘法模型。乘法模型的变式为：单价=总价÷数量，数量=总价÷单价。速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。学生感悟乘法的本质就是几个相同部分合并成一个整体，除法的本质就是从整体中减去若干相同部分很重要。乘法模型的几何直观可以理解为两个数相乘表示长方形的面积。比如下图利用面积模型来表征乘法口诀二六十二。
乘除数量关系是加减数量关系的进一步延伸，有助于学生解决问题更复杂的数学问题，这种数量关系是加减乘除的递进。 看吴正宪老师报告中的图片
加减乘除就是以加法为核心，感悟运算本质的一致性。 明晰加法的本质,理解和的意义。建立整体知识结构,培育推理能力和抽象能力。 点开可以看到 通过感悟运算意义的一致性，沟通内在联系,使知识结构化、系统化、逻辑化。正确理解运算意义及其关系是学习四则运算的基础,也是解决问题正确分析理解数量关系的依据。 数的计算和数量关系相互支撑，下图（义务教育数学课程标准（2022年版）解读138页）很好的表达了三者之间的联系。
数量关系是数与运算在解决实际问题中的应用，且借助数量关系能够解释运算结果的合理性。举几个例子来说明数量关系的阶段性和一致性。 第一学段我们称为前模型阶段。举一个例子，操场上原来有12个小朋友，又来了16个小朋友，现在操场上一共有多少个小朋友？这个问题基本数量关系就是：原有的人数＋又来的人数=总人数，而不用分量＋分量=总量。这样显得太抽象。12+16可以有很多情境，让学生结合算式说情境，这样就把模型的意识建好了，从而理解了这个数量关系。 第二学段建立模型和解决问题。 举一个例子学校图书馆购进一批书。其中故事书215本，科技书比故事书的2倍多32本。图书馆一共购进多少本书？ 这就是基本模型的组合，两次或两次以上运用（乘法模型和加法模型）表达情境中的数量关系。 这个问题的基本数量关系就是分量+分量=总量（一共有多少本书？） 其中一个分量：科技书的本数=每份数×份数+多的本数 第三学段，学习了字母表示数就是模型的拓展。既然说到了字母表示，可以表示性质、关系和规律，它又把数量关系进行一般化表达。 比如表示性质：2n是偶数，其中n表示正整数。用符号表示运算律，低年级就渗透了。5-（ ）=2------5=2+（ ） 关系：小明的爸爸比小明大30岁，如果小明 a岁时，爸爸b岁，可以得到表达式b=a+30 规律：一辆汽车以平均每小时60公里的速度行驶，如果t小时后行驶了s公里可以得到表达式s=60t 举两个第三学段的两个例子 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 数量关系有两个： 杏树的棵数＋桃树的棵树=总棵树（加法模型） 桃树的棵树=杏树的棵树×3（乘法模型） 解（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：杏树有62棵，桃树有186棵。 当然也可以利用方程解答。 根据题意可以列下面的关系式子： 杏树的棵数＋桃树的棵树=总棵树 杏树的棵数＋杏树的棵树×3=总棵树 杏树为X棵，X+3X=248 X=62 学生可以体会感悟，知道其中的一个值，就可以求另一个值，就是解方程。 下面的这个题只不过是一个变式而已。 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 桃树的棵树-杏树的棵树=多的棵树（加法模型变式） 桃树的棵树=杏树的棵树×3（乘法模型） 杏树的棵树×3-杏树的棵树=多的棵树 解（1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。 当然也可以利用方程解答。 下面参考了小学数学问题解决图示法教学实践研究（第200页）管尤跃著。 再分享一个基本模型“速度×时间=路程”题，可以改变问题、改变其中一个条件的位置、改变数据、改变情境等,使其成为新的问题解决, 在基本模型的建立过程中需要在理解的基础上记忆最基本的公式,清楚地知道在三个量之间建立的模型,要求某个量需要知道其他两个量,小学阶段所要求的问题解决几乎都可以在此基础上一步一步地得到解决。万丈高楼平地起,小学高年级所学的复杂的问题解决无不是建立在最基础的数学模型之上的。重新建立了新的数学模型—相遇问题。面对同一个模型,让学生体验学习的乐趣在于“变”,更在于“变中的不变”,可以改变问题、改变其中一个条件的位置、改变数据、改变情境等,使其成为新的问题解决。 简单举例如下 (1)一辆客车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地,同时一辆轿车以每小时90千米的速度从乙地开往甲地,经过3小时两车相遇,甲、乙两地之间的路程是多少千米? (2)甲、乙两地之间相距450千米,一辆客车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地,同时一辆轿车以每小时90千米的速度从乙地开往甲地,经过几小时两车相遇? (3)甲、乙两地之间相距450千米,一辆客车从甲地开往乙地,同时一辆轿车从乙地开往甲地,经过3小时两车相遇,客车每小时行驶60千米,轿车每小时行驶多少千米? (4)甲、乙两地之间相距450千米,一辆轿车从乙地开往甲地,同时一辆客车从甲地开往乙地,经过3小时两车相遇,轿车每小时行驶90千米,客车每小时行驶多少千米？ (5)甲、乙两地之间相距450千米,一辆轿车以每小时行驶90千米的速度从乙地开往甲地,行驶1小时后一辆客车以每小时行驶60千米的速度从甲地开往乙地,经过多长时间两车相遇？ (6)一辆客车以每小时行驶60千米的速度从甲地开往乙地,行驶1小时后一辆轿车以每小时行驶90千米的速度从甲地开往乙地,经过多长时间轿车追上客车? 除了上面的例子,还可以“变”出很多的问题供学生思考如何解决。 数量关系不仅包括问题解决中关系，也包括探索规律中关系。数量关系不仅要找关系，还要能用含有符号的式子表达关系。这是课标修订后新增加的内容，实际上对数量关系的符号表达，是数学得以跨领域应用，数学内部得以发展的关键所在。数量关系是提高学生发现和提出问题、分析和解决问题能力，培养模型意识和应用意识的重要载体。 最终，数量关系的本质是培养学生在真实情境中解决问题的能力，就是集中体现在建立和应用数量关系模型解决问题。 |
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