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英国剑桥大学纯数学教授、世界著名数学家G.H.哈代 (Hardy，1871 - 1947 ) 在《一个数学家的自白》一文中曾经提出：“现在也许难以找到一个受过教育的人，对于数学美的魅力全然无动于本。”〔4〕那么, 数学美的魅力究竟在哪里呢? 这是一个既令人神往但又使人感到迷茫的问题。在数学理论研究工作者、数学教育工作者以及从事于数学专业学㕷的青年学子中，确实有不少人曾经被数学美的迷人魅力所引诱, 以致流连忘返。数学美最早显现于古希腊数学的奠基工作之中, 其后则表现为知名数学家对于数学理论研究的审美追求。一、古希腊数学家已经在数学中认识到美、和谐、简单、明确以及秩序美国数学家M.克来因 (Kline) 在《古今数学思想》一书中曾说 : “他们 (指毕达哥拉斯等古希腊数学家一作者注 ) 也并不忽视数学在美学上的意义。这门科学在古希腊时代被人珍视爲一门艺术，他们在其中认识到美、和谐、简单、明确以及秩序。算术、几何与天文学被人们看作是心智的艺术与灵魂的音乐。” 今天看来, 极力追求美的现代数论, 就是从希腊时期所研究的算术理论脱胎而来的。毕达哥拉斯学派当时把音乐也归结为数与数的符号关系，致使当时的至乐被作为学校教育中四大数学学科之一。由于当时他们是以和谐作为美, 并且偏重于形式的探求, 这就为后来美学范畴内形式美的发展和研究奠定了基石。古希腊著名数学家欧几里德 (Euclid,约公元前 330 - 公元前 275 ) 于公元前三世纪时期, 对于当时数学研究的成果, 加以搜集与整理, 写成一部数学巨著《原本》, 在该书中,他以 23 条定义、 5 条公设、 8 条公理为基础，利用形式逻辑的方法, 演绎出 465 个定理 , 树立了科学著作的美学典范, 使后世许多数学家都沉醉于它那迷人的温馨的美的光芒之中。两千多年来, 它以优美庄严的结构, 著称于世,不知有多少科学少年为之迷恋。大数学家 B.A. W. 罗素 (Russe11, 1872-1970) 在11岁学拍《原本》, 感觉“就像初恋一样使人眩惑”。大物理学家 A. 爱因斯坦 (Einstein, 18781955）在12岁学㕷《原本》时，称它是“神圣的几何学小书”。时至今日，世界各国的中学几何课本仍然受到它的传统影响。及至文艺复兴之后, 又出现了一些熟悉美学的数学家, 如达-芬奇 (1452-1519) 和帕乔里 (约 1445-1514) 等等。然而, 其中影响较大者乃是 R. 笛卡尔 (Descarter, 15961650 ) 和 J.W. 莱布尼兹 (Leibniz, 16461716 )。笛卡尔的美学观点则是认为美不在于客观事物的本身, 而在于“判断和对象间有一种恰到好处的协调和适中”, 于是寻找代数与几何之间的协调, 正是他创立解析几何原理的美学思想基础。经过他以及其后继者的努力, 使得本来需要特殊技巧才能证明的几何难题, 逐步变成可以按照确定的法则与秩序而进行的算法过程, 使得许多古典几何学的内容都被约入于代数的研究领域。他曾设想把逻辑演绎的方法 , 用代数式子表示出来, 将逻辑演绎的方法,推向更完美的境界, 直到 1847 年, G. 布尔 ( Boole，1871-1956)的论文《逻辑的数学分析——关于走向演绎推理》的发表, 才使逻辑与代数得到了统一，从此宣告了布尔代数的正式诞生。莱布尼兹为了使数学理论实现和谐美, 首先提出关于数学真理“清晰明白”的美学标准。诗是以语言和词藻来表现它那丰富多彩的生活内涵, 画是以造型来表现它那可见世界的形状与色彩, 而数学则是以人工语言—数学符号来表现客观世界的数量结构关系, 并且进一步编织成优美的演绎形式。莱布尼兹在他的美学标准指引下, 自 1675 年以后, 陆续创造了一些行之有效的数学符号, 例如, 以“dx”表示微分，'∫'表示积分。他曾经这样说过：“要发明 , 就要挑选恰常的符咙。要做到这一点 , 就要用包含少量因素的符躆, 来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质, 从而最大限度地减少人的思维劳动。”作为逻辑主义者先驱的莱布尼兹, 认为最高的绝对的和谐, 就是 完美”与“圆满”, 也就是“美”。他根据自己的美学标准, 对于命题“ 2+2=4”进行了逻辑分析, 并且提出一个严谨、和谐、简单的逻辑结构, 这个结构, 实际上就是自然数公理系统的先声。与希腊数学追求纯粹理念而形成强烈的对照, 中国古代数学具有漫厚的应用数学色彩。因此, 中国古代数学的美学特征, 主要是应用数学之美。美国著名数学家P.R.哈尔莫斯曾经说过：“应用数学可以是优美多姿的。”[20]在中国古代, 各种数学著作的编写, 大多是沿用问一答一术的形式。所谓“问”, 即是选择一些富有趣味性和故事性的算题; 所谓“答”,即是问题的答案; 所谓“术”, 实际上是用以描述计算过程而构造的一套设计精美的程序化语言。在春秋战国时期 , 著名美学家墨翟和庄周 , 也都是古代数学家。墨翟提出“言必有仪”以及“有本之者、有原之者、有用之者”的理论思维准则，他被誉之为东方形式逻辑的创始人, 并且率先将逻辑知识用之于几何学之研究。他所建立的墨氏几何学, 就其理论结构而言 , 比之欧氏《原本》, 略有逊色, 但却比《原本》早问世百余年。他给几何基本概念所确立的定义, 不仅简单、严谨, 而且优美雅致。英国科学家李约瑟在《中国科学技术史》一书中曾经评论说：“《墨经》的几何理论, 完全排除了任何一种认为中国缺乏几何思想的猜测。”庄周极力提倡无为 , 但他仍然崇尚自然美。在其名著《庄子》一书中, 明确提出：“一尺之锤, 日取其半, 万世不竭。”以及“至大无外小“、至小无内”等关于无限论的数学思想。在数学发展史上, 人类对于无限理论认识的每一次深化, 都导致了数学上的重大进展。因此, 数学家们一致认为: “数学就是关于无限的科学。”时至近代, 德国著名的数学家 G.康托（Cantor, 1829-1920), 在数学美之魅力的诱导下, 向神秘莫测的无限理论发起了挑战, 并且做出了卓越的贡献。经过他和 F.L.G. 弗雷格 (Froge, 1848-1925)、V.W. 戴得金 (Dedekind, 1831-1936)等人的深入研究, 使得无限理论的发展, 达到了令人眩晕的高度。世界著名数学家 D. 希尔伯特 (Hilbert, 1862-1943) 对于康托的工作给以高度你价，他曾指出：“我感到它 (指康托的无限理论——作者注) 是数学思想中最令人赞叹的产物, 是在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一……没有任何人能够把我们从康托为我们所创造的乐园中开除出去。”易图是中国古代人民最早设计的人工语言、整齐优美, 妙趣横生, 其中蕴含着丰富的数学宝藏。有很多知名数学家, 如莱布尼兹、一行、秦九韶等都曾对它进行过深入研究与发掘。现在发现易图可以给予多种奇妙的解释，如二进制数字、组合论、矩阵论、代数学、几何学等等。这仅仅是易图研究中数理派的部分解释 (易图研究中的另两派爲象数派与义理派 )。J.M. 莱布尼兹在他致德雷蒙的信中曾经说过：“《易经》也就是变易之书, 在伏羲的许多世纪以后, 文王和他的儿子周公以及在文王和周公五个世纪以后的孔子, 都曾经在这六十四个图形中寻找过哲学的秘密……这恰是二进制算术……在这个算术中, 只有两个符号 : 0 和 1 。用这两个符号可以写出一切数字。(参见《中国哲学史》1981 年 3、4期及 1982 年 2 期)。数学本是一个和谐统一的整体, 它虽然可以划分为纯粹数学与应用数学两个部分, 但是 , 在历史发展的过程中, 二者仍然是相辅相成的。有的数学家提出：“纯粹数学虽美而无用 , 应用数学有用但不美。”[4] 其实不然, 应该说二者都是美丽多姿的。[20] 为牛顿和贝多芬作传的沙利文曾经写道：“一个科学理论成就的大小, 事实上就是它的美学价值的大小。”G. H. 哈代在《一个数学家的自白》一文中明确提出: “美是首要的标准, 不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。”[4]他在该文中当谈到漂亮定理的纯粹美学特性时, 特别强调“简单性、意外性、必然性与和谐性。”[4]当今世界数学最高奖——菲尔兹 (Fields)奖获得者M.F. 阿蒂亚 (Atiyah，1931 -) 也曾经说过：“数学家们，特别是从事纯粹数学研究的数学家, 都力求使自己的科学成果, 具有明澈的思想，高雅的风格，优美的论证，完备的细节，均衡的形式和有效的简楔等美学特性。”[21] [22]这里所说的美学特性, 实际上就是美学标准。当前数学界对于检验数学理论真理性的美学标准, 尚存在着一些的分歧, 此乃是因为数学家个人的审美观往往具一定的独特性。然而 , 大多数数学家所提倡的美学标准，则都包含有和谐性、简单性、奇异性这三个基本要素,只不过是其措词不尽相同罢了。因此, 度量数学美的公式我们可以表示为：所谓和谐性, 即是无矛盾性, 要求任何一门数学理论消除悖论, 此乃是最基本的条件。在此基础上, 如果这个理论的演算和论证十分简洁, 就会给人以美的感受。所谓奇异性, 即是信息的差异性，而且这个差异性越大，也就越是令人感到惊讶! 如果这个理论在演算和证明中 , 所利用的定理或公式离题意越远, 对于应用它们的设想越离奇, 而且又能够获得成功 , 那么，我们由此所体会到的美感也就越强烈 ; 如若在其演算和证明过程中，不只应用一个定理或公式, 而是应用了若干个定理或公式,或者是应用了若干种演算与证明方法的巧妙组合 , 那么 , 我们就会立刻感到它犹如一件艺术精品。因此, 在抽象数学世界里, 对于理论的简单美和奇异美要求, 应该是压倒一切的。例如, 取得普遍性和永久性统治优势的十进制,其简洁和优美就大大地超过了笨重的罗马数字。英国哲学家 F. 培根 (Becan, 1561-1626) 曾经说过：“美中之最上者是图画所不能表现 , 初睹者所不能见及者。”数学美的这三个特性, 正是“初睹者所不能见及者”, 它好比是“无声的音乐”、“无色的图画”。在数学王国里邀游, 亦然会使你感到绚丽多彩, 美不胜收。它所表现出来的那种和谐、简单、奇异的神功魅力, 亦然可以使你为之陶醉！为之倾倒! 英国大数学 B.A.W. 罗素 ( Russell， 1872-1970) 称赞数学美是“至高的美”, 当论及其性质时 , 他认为数学美“是一种冷而严肃的美”。1907年他在《新季刊》上发表一篇论文, 题为《数学的研究》, 并在该文中提出 : “数学, 如果正确地看他, 不但拥有真理,而且也具有至高的美。正像雕刻的美, 是一种冷而严肃的美。这种美不是投合于我们天性的微弱方面。这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰。它可以纯净到崇高的地步, 能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种圆满的境界。”[5]英国哲学家威廉・奥卡姆有句名言：在符合事实的一切假设中, 应该选用最简单的。在陈氏定理发表后的一年当中, 国内外又发表了五篇澄明同一命题的论文, 这五篇论文的共同特点则是 : 在证明过程上都比陈氏定理简单。我国著名数学家潘承洞在其所著《素数分布与哥德巴赫猜想》一书中曾这样写道：“我国学者丁夏晆、王元、潘承洞都对“陈氏定理”给出了一个实质性的简化证明。”在第二十九届国际数学奥林匹克部赛时, 保加利亚的一位选手由于对这次竞赛中的第九题, 给出了一个比较简单的解法，因而获得了特别奖。由此可见 , 数学的简单美, 也是具有实际价値的。数学的奇异美, 正好适应了人们求奇求异求新的审美心理。美国普林斯顿高等研究所所长 H. 沃尔夫 (Wool f ) 在纪念 A. 爱因斯坦 （Einstein，1878-1955) 诞生一百周年纪念会上讲话时, 曾经引用过 F. 培根 (Becan)的一句名言：“没有奇特的奇异性, 也就不存在与众不同的美。”[12]这种美也就是奇异美。1874 年 L. 克罗内克 (Kronecker, 1823 -1891) 在一篇论文中恰当地评论了奇异美的功能, 他写道: “一旦人们闯入了所谓奇异美的大门，研究工作马上就会碰到真正的困难，然而, 也立即会在它的深处发现新观点、新知识的丰富宝藏。”(《十九世纪数学社会史》 ，1979年7月 5 日在西柏林召开了由八个国家的学者参加的第三次数学史专题讨论会, 该书由这次会上所发表的论文汇编而成。)为 I. 牛顿 (Newton, 1642-1727) 和 L. V. 贝多芬 (Beethoven, 1770-1827) 作传的沙利文角经说过：“引导科学家的动力, 归根结底是美学冲动的表示。”化学家居里夫人 (Maris sklodowska curis) 在这方面的体会更深, 她写道：“科学的探讨研究, 其本身就含有至美, 其本身给人的愉快就是报酬, 所以, 我在我的工作里, 寻得了欢乐。”法国著名数学家 J.S. 阿达玛 (Hedamard, 1865-1963) 在其名著《数学领域中的发明心理学》( 江苏教育出版社, 1989年翻译出版 ) 一书中提出: “关于发明所需要的条件,已被近50年来最伟大的天才人物所阐明, 他的名字为科学界所熟知, 而且整个近代数学都在随着他的脉搏跳动, 此人就是 H. 庞卡莱 ( Poincare，1854-1912）”。庞卡莱是十九世纪与二十世纪之交的数学巨匠，一生著述甚多 , 经历过无数次创造的艰辛, 领略过无数次发明的喜悦。他曾经这样说过: “科学家研究自然，并非是因为这样做有用途，他之所以研究它, 是因为他从中能够得到乐趣。而他之所以能够从中得到乐趣, 那是因为它美。如果自然不美, 就不值得去了解它, 如果自然不值得了解, 生活就毫无意义。当然, 我在这里所说的美, 不是给我们感官以印象的美, 也不是质地美和表现美……我的意思是说那种深奥的美，这种美在于各部分的和谐与秩序, 并且能为纯粹的理智所掌握。”庞卡莱在这里所说的美,对于数学家而言, 即是指数学美, 它能够激发研究工作者的数学美感。所谓数学美感, 是指审美主体对于数学的结构与关系所产生的一种美感，它可以使审美主体获得理智的满足和心灵上的愉悦。大数学家庞卡莱认为：数学中的发明或发现即是选择，选择的重要标准即是厂对于美的渴望”, 在选择中所尽心追求的即是简单美和奇异美。这是因为有趣的事实与简单的理念容易被机遇所复现, 而奇异之中往往蕴含着新的信息。庞卡莱还认为：一个缺乏数学美感的人 , 决不会成为一个眞正的创造家。他在一篇论文《数学上的创造》中曾经提出：“那么，以美和高雅为特征, 同时能启发我们内心某种美感的数学实体又是什么呢? 它们是这样的东西 ，组成它们的各个部分是如此和谐地配置着… …这种和谐性能立刻满足我们对美的需求……有用的组合，正是那些最美的。我指的是那些最能诱惑特殊情感的组合。” [18]选择是在数学美感的冲动下进行的，然而 , 选择又是由什么决定的呢? 庞卡莱认为选择是由数学家的直觉能力所决定的。他曾经指出 : “没有直觉的数学家, 便会像一个只会按语法写诗的作家。”“直觉”一词, 是“Intuition”的意译, 意思是未经充分逻辑推理的直观 , 它是以已经获得的知识和已经积累的经验为依据的。一般地说, 直觉是对事物本质的直接领悟或洞察, 而数学直觉乃是对于数学对象的结构和关系的直接领悟或洞察。庞卡莱不仅认为数学直觉是发明的工具，同时还认为逻辑也起始于直觉。并且，在数学证明中同样也是少不了直觉。他确信唯有直觉“才能䟼予几何学家建立起来的大厦以价値”, 唯有直觉 解析学家才能一眼就觉察到逻辑大厦的总蓝图。”美国著名数学家、教育家 G. 波利亚(Polya , 1887-1985) 曾经提出数学教学的三保原则 , 即促使学生主动学习的原则、最佳动机原则、阶段序进原则。数学教师作为一个知识推销员, 他的责任就是使学生相信数学是有趣的,并且使他们感到所讨论的题目也是有趣的, 值得努力去做。为了有效地学习, 学生应当对所学习的材料感到兴趣, 并在学习活动中找到乐趣 , 这就是最佳动机原则。1988年在匈牙利首都布达佩斯召开了第六届国际数学教育会议, 这次会议以“数学教育与文化、美”为主题, 与会者一致认为：“数学教育还必须将数学所固有的美展示给学生，使学生不仅获得知识, 而且还受到美的熏陶。”所谓受到美的熏陶, 即是从中接受审美教育 , 使学子在愉悦宽舒的数学教学活动中陶冶性格, 丰富精神世界, 培养高尚情操, 并执迷于数学理论的学习与探索。数学教学过程, 是信息交换过程, 同时也是审美教育过程。科学理论愈抽象, 愈应强调培养学生的美感。决定数学教学成败的首要条件, 乃是学生的学习兴趣。兴趣是带有感情色彩的认识倾向, 兴趣所致, 将会导致废寝忘食 , 梦寐以求。如若学生能够对其所学习的内容保持浓厚的兴趣, 则教学信息在神经线通道内的传输, 即可达到最佳状态。国际数学教育委员会 (ICMI)1991-1994 执行委员会所提出的研究课题之一是 : 如何提高学生对数学的兴趣? 我们认为提高学生兴趣的重要环节之一, 乃是在数学教学中深入发掘教材本身所固有的美, 引导学生在数学王国里寻幽探胜, 使他们感到这里处处充满着诱人的魅力。独联体著名数学家 H.H. 鲁金 (18831950 ) 直到中学的最后几年, 还是很害怕数学, 当时他是依靠一位有才干的家庭教师的辅导, 才摆脱这种困境的。考进大学以后, 他逐步发现：“数学乃是具有充满诱人秘密前景的创造性科学。”曾任美国普林斯顿高等研究所研究员D. 布莱克威尔 (Blackwell) 是一位以严格和明确而著称的数学理论家。他曾经说过: “我的高中几何老师, 使我真正对数学发生了兴趣。几何学是一门美妙的学科, 直到我学完微积分一年之后, 仍然认为几何学是唯一的一门能使我看到数学是那么美妙、那么富有思想的学科'。[6]”这位数学家不仅教学有方 , 而且以讲课作为乐身之道, 并且深刻地体会到数学美所具有的良性循环关系，他认为：“教学是一种乐趣, 当教师把这种乐趣传递给他人时, 自己也会再次体会到它的美。”[6]1980年, 美国数学教师联合会公布了一份文件, 名为《关于行动的议程》(An agenda for action)，这份文件提出：在数学教育中最为重要的是培养解决问题的能力。法国数学家 H. 庞卡莱曾经说过：“数学的优美感不过就是问题的解法适合于我们心灵需要而产生的一种满足。”优美的解答, 其思维方法的崇高与雅致, 应该能多使我们大为惊讶! 如果某生对于一道练习题, 只能勉强想出一种冗长而迂回的解法, 虽然此种解法他人都未能想到, 但是, 这种解法给人带来的只能是感动, 而丝毫不能给人以美的感受。能够给人以美感的解法 , 不仅具有和谐性, 而且是简洁的和奇妙的。美国数学家 G. 波利亚曾经指出: “解题意味着发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径,以达到一个不能一蹴而就的目的。”平时解题与数学发现之间，只有难易程度上的差异，而没有本质上的区别,一个有责任心的教师, 与其穷于应付过量的练习题, 还不如选择少数典型例题, 引导学生发掘这些题目及其解法中所蕴含的美, 以激发其最佳学习动机。生物学家巴斯德 (Pasteur) 曾经说过：“当你终于确实明白了某种事物时, 你所感到的快乐是人类所感到的一种最大快乐。”因此, 只要你能够引导学生彻底解决一个问题, 就会使你从中感到美不胜收。在古希脑的哲学家中, 已经注意到真善美的统一问题。苏格拉底 (Socrates, 公元前469 - 公元前 399 ) 曾经说过：“凡是我们用的东西 , 如果被认为是美和善的, 那就都是从同一观点——它的功用去看的。”(《西方美学家论美和美感》北京大学美学教研室编，1980年商务印书馆出版, P. 19.) 柏拉图 ( Plato,公元前 427 -公元前 347 ) 是苏格拉底的学生 , 他对于抽象数学的产生和发展曾经作过突出的贡献，他认为在理念世界里真善美是统一的。亚里斯多德 (Aristotle, 公元前 384 - 公元前 320 ) 是柏拉图学园的高材生, 他是形式逻辑的创始人，当其阐述逻辑知识时，主要是以数学科学为实例。他曾经提出过：“美是一种善, 其所以能够引起快感, 正是因为它善。”由于古希腊时期的哲学家, 多数是把数学思想作为进入哲学殿堂的阶梯, 后人亦称他们为懂得几何学的哲学家。因而，他们所谈论的关于真善美之间的关系，对于数学中的真善美也是适用的。《英国大百科全书》是将最广泛的善与价值相提并论, 而所谓价值, 主要是指数学在社会领域和科学领域中的应用。英国著名数学家和兼哲学家 A.N. 怀特黑德 (Whitehead,1861 -1947) 在其代表作《数学与善》一文中, 曾谈到数学模式的应用价值以及模式与善的关系。他写到: “数学就是对模式的研究, 在这里我们发现把数学与善的研究和恶的研究相联系的重要线索。模式只是我们理解经验的一个因素, 它或是具有直接的价值, 或是激起追求未来价值的活动。”1907年, 大数学家罗素在《数学的研究》一文中认为: 数学不仅“拥有真理”, 而且具有 “至高的美”,…..“一种真实喜悦的精神, 一种精神上的发扬, 一种高于人的意识 (这些是至善的标准) 。”[5]在数学理论之中, 经过不断地发展和完善 , 最终可以实现真善美的统一。L. 牛顿 ( Newton, 1642-1727) 和G.W.莱布尼兹所发明的微积分, 能够顺利解决自然科学中所提出的一些实际问题, 当时不得不承认它的善。后来, 经过数学家A.L. 柯西 (Cauchy, 17891857 ) 和 K. 魏尔斯特拉斯 ( Weierstrass, 1815-1897) 等人的严密化加工, 引入了极限、连续等根本性概念, 使之日臻完善, 最终达到真善美的统一。著名数学家兼哲学家罗素对于悖论的研究, 成绩卓著, 现有的一些解决悖论的方法, 大多数都是源自于他的见解。然而 , 他所提出的“分支类型论”,由于过于累赘 , 当时受到冷遇。后来, 他的学生兰姆赛 ( Ramsey) 将其加以改造, 建立了”简单类型论”, 这种简单类型论, 不仅可以排除悖论,而且符合于简单美的要求, 自然为大多数数学家所欢迎。由此可见，“美是首要的标准”， [4] 如果一个数学理论符合于美学标凖, 那么 , 它一定也是定的和善的。无怪乎著名数学家 C.H.H. 魏尔 (Wey1, 1885-1955) 曾经这样说: “我的工作总是力求把真与美统一起来,但是当我必须从二者择一时, 我通常选择美。”英国著名数学家哈代在《一个数学家的自白》一文中, 虽然没有直接提出“善”这个概念, 但是, 他却认为数学美与数学理论的严肃性在被称之为最好的数学中是并存的。他在这里所说的“严肃性”, 实际上就是“善”和“真”。他在该文中是这样说的：“最好的数学，既是美的 , 同时又是严肃的……数学定理的严肃性不仅在于它的实用效果, 而且在于它所涉及的那些数学概念的意义……严肃的数学定理, 即是把有意义的概念联系起来的定理, 很可能在数学本身以及其它科学领域内产生重大进展。”[4]除此而外，哈代在该文中还提出: “美是首要的标准”。莫斯科国立大学教授阿诺尔德 (Arnolde) 则是更加强调美对于真和善的决定性作用。1987年, 当接受《数学评论》副主编探访时, 他篔经发表如下一段谈话：“数学有一个人们所不能不赞叹的性质, 这就是它的极端抽象, 因而, 乍一看毫无用处的一些分枝 , 只要它们是美的, 便具有超凡的效能......当代数学著作的绝大部分, 并未能满足美学上的要求, 因而也就绝对不会有什么用途。”[15] [1]H. 庞卡莱, 科学的价値 1988 年光明日报出版社出版。 [2].M. Kline, Mathematical though from ancient to modern times, Oxford Univ. Press, New York, 1972.参见北京大学数学系译 古今数学思想」上海科学技术出版社出版。 [3].(Japen) Tan Gao Mao, What is Mathematics, after all? Sciences, 51 ( 1981), 。译文载于「数学译林」,1986 年第 5 卷第1 期P. 60 .[4].G. H. Hardy, A Mathematician's apology, Cambriage University Press, 1940.[5].B.A. W. Russell, My philosophical development, Simon and Schuster, New York, 1959.[6].Donald J. Albers, David Blackwel1, Mathematical poeple profiles and interviews, 1985, .[7]R. Minio, An interviews with Michael Atiyah, The mathematial intelligencer, .[8]N. Levinson, Codine theory: A counterexample to G.H. Harday's conception of applied mathematics, The American mathematical monthly, 77 (1970), 249 .[9].M. Dehn, Mentality of the mathematician, A characterization, The mathematical intelligencer, 5:2(1983), 18 .[10]J. Singh, Mathematics today, Hindustan times, 1983, 1.2.[11].D. J. Albers, Paul Halmos, Maverick Mathologist, Two-year college mathematics Journal, 13(1982), 226 242.[12]Freeman J. Dyson, Unfashionable pursuits, The mathematical intelligencer, (1983).[13]Philip J. Davis, Are there coincidences in mathematics, The American mathematical monthly, 88:5(1981), .[14]Peter D. Lax, Mathematics and it's applications, The mathematical intellgencer, .[15]S. Zdravkorska, Conversation with vladimir lgorevich Arnold, The mathematical intelligencer, 9:4 (1987), .[16]H. Cartan, Nicolas Bourbaki and contemporary mathematics, The mathematical intelligencer, . 17. G. L. Alexanderson Carroll Wilde,[17]Garrett Birkhof f, Mathematical people profiles and interviews, Birkhausev Boston, Inc. Cambridge, Massachussetts, 1985, .[18]H. Poincare, Mathematical creation, The world of mathematics, Vol. 4 Simon and schuster, New York, 1956.[19]F. F. Bonsal1, A down-to-earth view of mathematics, The American mathematical monthly, 88: 1(1982), .[20]Paul R. 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