题目解答

已知函数f(x)=nx−xn，x∈R，其中n∈N∗，且n⩾2．⑴设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)⩽g(x)；⑵若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1   x2，求证：|x2−x1|

⑴f′(x)=n−nxn−1设P(x0,0)，所以x0=n1n−1，f′(x0)=n−n2，故g(x)=f′(x0)(x−x0)=(n−n2)⎛⎜⎝x−n1n−1⎞⎟⎠定义F(x)=f(x)−g(x)=−xn+n2x+(n−n2)n1n−1，F′(x)=−nxn−1+n2易得F(x)在(0,x0)单增，(x0,+∞)单减，所以最大值为F(x0)=F⎛⎜⎝n1n−1⎞⎟⎠=0故f(x)⩽g(x)⑵不妨设x1

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