检测概率相对于单个脉冲的SNR关系曲线以及MATLAB仿真

    这篇相关的知识是我一直想写的特别是检测概率和SNR的曲线图，之前看到的这个曲线图的数学公式是真的麻烦。就一直逃避这个东西，今天看到一个稍微简单的公式推导，正好记录一下。

一、检测概率

1.1 理论知识

    假设接收机的输入信号由雷达回波信号s(t)和加性的均值为零、方差为的高斯噪声n(t)组成。另外假定输入噪声是空间不相干的，并且与信号不相关。输入信号经过带通IF滤波器的输出信号是v(t)，其可以写为：

    其中，是雷达的工作频率，r(t)是v(t)的包络，相位是，下标I、Q分别称为同相和正交分量。

    检测概率PD是r(t)的样本R在噪声加信号的情况下超过门限电压的概率。

    如果假设雷达信号是幅度为A的正弦波形，那么它的功率是。现在，使用(单个脉冲的SNR)和

，因此公式2可以重写为：

    其中Q称为Marcum（马坎） Q函数。我们从公式3可以看出这个积分函数极其复杂，可以使用数值积分技术来进行计算，只是比较复杂而已。我们看看Parl开发的一个优秀算法来对这个积分进行数值计算。

    。对于p≥3，公式6到8的递归是连续计算的，直到。该算法的准确度随着p指的增加而提高。

1.2 matlab仿真

主函数

clcclear allclose all% parl开发的一种优秀的算法来对积分进行数值计算。% 检测概率相对于单个脉冲SNR的关系曲线图，对于Pfa的几个数值for nfa = 2:2:12    b=sqrt(-2.0 * log(10^(-nfa)));    %对应公式3中Q中的元素 index = 0; hold on; for snr =0: 0.1 : 18 index = index + 1; a = sqrt(2.0*10^(snr/10)); %对应公式3中Q中的元素 pro(index)= marcumsq(a,b); end x = 0: .1 :18; set(gca,'YTick',[.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .75 .8 .85 .9 .95 .9999]); set(gca,'XTick',[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18]); loglog(x,pro,'k');
text(x(nfa*13),pro(nfa*13),['10^',num2str(-nfa)]);endhold off% legend('10^-2','10^-4','10^-6','10^-8','10^-10','10^-12');xlabel('单脉冲SNR-dB');ylabel('检测概率');grid on;

marcumsq函数

function PD = marcumsq(a,b)%该方程运用parls方法来计算检测概率max_test_value = 5000;if(a<b)    alpha0 =1.0;    dn = a/b;else    alpha0 = 0;     dn = b/a;endalpha_1 = 0.0;beta0 = 0.5;beta_1 = 0.0;D1 = dn;n=0;ratio = 2.0/(a*b);r1 = 0.0;beta = 0.0;alpha = 0.0;while beta<1000    n = n+1;    alpha = dn + ratio * n*alpha0+alpha;    beta = 1.0 + ratio * n*beta0 +beta;    alpha_1 = alpha0;    alpha0 = alpha;    beta0 = beta;    dn = dn * D1;endPD = (alpha0/(2.0*beta0)) * exp(-(a-b)^2/2.0);if(a>=b)    PD = 1.0 - PD;endreturn

二、四种swerling模型

    通常我们对检测概率的计算都是假定恒定的目标截面积（非起伏目标）。但考虑到实际过程中目标的截面积是不断变化的。因此针对这种不断变化的情况，总结出了相对应的模型也就是swerling模型。通常截面积不断变化的swerling模型有四种分别称为swerlingⅠ、swerlingⅡ、swerlingⅢ和swerlingⅣ。而分析恒定RCS的情况被广泛称为swerling 0或等效为swerlingⅤ。目标起伏降低了检测概率，或者等效地减少了SNR。

    swerling Ⅰ型目标在一次天线扫描期间内具有恒定的幅度；然而，从一次扫描到下次扫描，swerling Ⅰ型目标的幅度是根据具有两个自由度的概率密度函数独立变化的。

    swerling Ⅱ型目标的幅度，从一个脉冲到下一个脉冲之间，是根据具有两个自由度的概率密度函数独立起伏的。

    swerling Ⅲ型有关的目标起伏与swerling Ⅰ型类似，除了目标功率从一个脉冲到下一个脉冲之间根据具有四个自由度的概率密度函数独立起伏。

    最后，swerling Ⅳ型目标的幅度，从一个脉冲到下个脉冲之间，是根据具有四个自由度的概率密度函数独立起伏的。

    小结：swerling 1型主要用于目标的截面积慢起伏并且脉冲相关的情况。swerling 2型则主要用于目标的截面积快起伏并且脉冲独立的情况。swerling3型主要用于目标的截面积慢起伏并且脉冲相关的情况，swerling4型主要用于目标的截面积快起伏并脉冲独立的情况。

    swerling表明，swerling Ⅰ和Ⅱ型有关的统计特性，适用于有很多RCS可比较的、小的散射体组成的目标，而swerling Ⅲ和Ⅳ相关的统计特性，适用于由一个大RCS的散射体和很多小的、RCS相等的散射体组成的目标。非相干积累可以适用于所有四类swerling模型。但是当目标起伏属于swerling Ⅱ或swerling Ⅳ型时，不能使用相干积累。这是因为对于swerling Ⅱ型和Ⅳ型，目标幅度从一个脉冲到下一个脉冲是不相关的（快起伏），因此不能保持相位相干性。

    具有2N个自由度的概率密度函数可以写为：

    其中，是RCS的平均值。使用公式，当N=1就可以得到与swerling Ⅰ型和Ⅱ型目标有关的pdf。

    当N=2时，得到swerling Ⅲ型和Ⅳ型目标的pdf为：

三、总结

    以上是关于检测概率和单个脉冲SNR的所有数学推导和相关的MATLAB仿真，还是会有一些差距，但大致上还是比较符合实际情况的。另外对swerling模型做了简单的介绍，后面会针对不同的模型来进行MATLAB仿真和学习。如果大家感兴趣的话，不妨关注一下，方便后面学习探讨。

四、参考内容

        雷达系统设计MATLAB仿真

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