【原】2024福田区中考二模数学填空压轴，四种方法解决，相似转化是核心！

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如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF∙BE=24，则CF=________

 

方法一：构造相似

过点F作FG⟂BE交BA延长线于点G，易知△BFG~△BAE,得BE∙BF=BA∙BG，得BG=6，作FH⟂BA于点H，由射影定理得FH²=HG∙HB，设AH=m，则FH=m,BH=4-m,于是m²=(2+m)(4-m),得m=,由HF|||BC得FC:AC=BH:BA=,故FC=

方法二：相似转化+勾股定理

作FMBC于点M，设CM=m，则BM=4-m，FM=m，易知BFM~EBA得BF：BE=FM：AB，得4BF=BE∙FM，4BF²=BE∙BF∙FM得BF=，由勾股定理得得m=，故CF=

方法三：平行转行比例+勾股(与方法二类似)

方法四：转化+一线三角

过点E作EM⟂BE交BD延长线于点M，易知△BOF~△BEM，得BE∙BF=BO∙BM=24，故BM=6，得DM=2，过点E作EN⟂AE，MP⟂EN，得△MEP~△EBN，设DE=m则C=m,MP=m-2,于是(m-2)(4+m)=8得m=，而AF:FC=()：4由此可得CF=

方法点评：方法一相对比较传统，由线段乘积直接考虑利用相似来转化.而射影定理需要同学们非常熟悉，才能快速解决；而方法二与方法三本质是同一方法，方法四则是方法一的另一种表现形式，后续的仍然需要利用相似解决问题.