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接前文<几何思维中的以退为进策略与消元法>,本文继续讲解以进为退策略在几何解题思维中的实战应用。 几何题见图1。  图1 解题思维过程 如何思考本题？  变形 上式括号中的式子为两项相加的结构，D是定点。美好的想法要有，万一实现了呢，很容易合情地自然地想到这样的理想模式(美好模式)： 如图2，如果在AB左上方存在一个定点Q，且满足EQ=EF/根3，则DE+EF/根3=DE+EQ>= DQ,故所求最小值为：根3DQ。  图2 所以找到定点Q就是解决本题的关键。 定点Q需要满足条件：EQ=EF/根3。但EF的位置不好，它的两个端点都是动点，导致我们不容易看清它，也导致我们不容易找到满足这个条件的Q点。 根据前文以退为进的策略，我们需要后退，退到能看清EF的几何位置上。如何退？ 如图3，按前文的内容，要优先退到容易确定的、容易把控的、基础的、稳定的数学对象，而B点就是这样的对象，它可作为稳定的基础和支撑。看图进行直观想象和思考，很自然想到将EF平移到BG(BEFG为平行四边形)，BG靠到容易把控的定点B上。 BG平行且等于EF，BG的端点B是定点，所以相比两个动点的EF，我们可以合情合理地认为更容易看清BG，BG的基础更好一些，更确定一些，更稳定一些，它更容易把控和利用。根据前文的内容：要优先选取、优先靠近和贴近容易看清的、容易确定的、基础的、容易把控的数学对象，所以我们优先基于BG或基于BG附近的数学对象来开展寻找Q点的探索工作，而不是基于不容易看清、基础不牢的、不容易把控利用的EF。 合情推理合情判断不一定完全可靠，但解题探索没有合情更艰难。 图3中很容易想到延长FG交BC于P点，且易知PFC为等边三角形，G为PF中点。  图3 根据EQ=EF/根3，合情设想这个根3应该是相似比，这个系数是暗示，是蛛丝马迹。根据这个蛛丝马迹的线索信息，我们在图3中很容易发现GC/BE也等于根3。到此，我们很容易想到图4的解法。  图4 角BCG为30度，故构造QBE相似于BCG，也就是令角QBE=角BCG=30度，QB垂直于BC，且QB=BC/根3。则必有EQ=BG/根3=EF/根3。到此，剩下的就是简单的计算工作，就省略了。 可见我们是退到相对而言容易看清的BG，然后基于BG和它附近的数学对象BC、CG在进行解法探索，同时结合了合情设想。 第二种解法，易证BF=2DE，与上面的解法类似，也可以在AC右上方找定点。 本题的第三种解法更容易，在先前的文章中介绍过，就是建系加待定系数法、配方法，从而很容易直接求出定点Q的坐标，本文就不介绍这个解法了。 总结 从上面的解法探索可知，如果熟悉以退为进、进退互化的解题策略，此题其实很简单，可以说属于妥妥的送分题。 正所谓以道莅天下，其鬼不神。不能仅仅只学数学知识，更重要的是要领悟数学思维之道，领悟通透系统的数学思维之道。 道悦(王国波) 2024.5.21 |
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