对于所有a , b , c ∈ F：
1. 对加法和乘法的封闭：a + b ∈ F , a · b ∈ F。
2. 加法和乘法的结合性：
( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( a · b ) · c = a · ( b · c )
3. 加法和乘法的交换律：
a + b = b + a，a · b = b · a
4. 加法单位元和乘法单位元的存在性：
存在一个元素 0 ∈ F使得a + 0 = a = 0 + a，对于所有a ∈ F成立。
存在元素 1 ∈ F（其中 0 ≠ 1），使得对于所有a ∈ F，a · 1 = a = 1 · a。
5. 加法和乘法逆元的存在：
对于每个a ∈ F，存在一个元素 - a ∈ F使得a + (- a ) = 0 = (- a ) + a。
对于每个a ∈ F ，其中a ≠ 0，存在一个元素a ⁻1 ε F使得a · a ⁻1 = 1 = a ⁻1 · a。
7. 乘法对加法的分配律：
a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )
值得一提的是如果我们在域上定义顺序关系，我们就得到了有序域，常见的例子如有理数域(ℚ) 和实数域(ℝ)。其实在数学中我们总是在做同样的事，一开始我们的空间是抽象的，它从一个集合开始——通常称为点或元素的对象的集合。但是光有集合并不是很有趣，当我们向集合中添加不同的结构，赋予点意义和联系时，奇迹就会发生。这种用各种结构增强集合的过程产生了广泛的数学空间，每个空间都拥有自己独特的属性和实际应用。比方说当我们向空间中添加一个距离函数时，就能够开始研究收敛性，紧致性和连续性，更有趣的是这些概念其实不必依赖距离函数的概念，只需要更抽象的拓扑概念就好。
度量空间
度量空间是具有距离结构的空间，我们有一个集合M,而这个集合上有一个距离函数d。
这里的M它可以由数字、函数、序列或其他数学对象组成。度量(或者距离函数)d是一个为每对元素分配一个非负实数的函数，引入了它们之间“距离”的概念。
你可能在数学的某些地方见过一些常见的度量，包括曼哈顿距离和欧几里德（L2）距离。
更一般我们可以给出距离函数的公理化定义：
现在让我们在度量空间的背景下探讨收敛和极限的概念。
X中的序列是
这里X是一个数学空间，在度量空间的背景下，如果序列的项随着序列无限前进而接近特定极限，则称该序列是收敛的。更正式地说，如果对于每个正数ϵ（无论多小），都存在一个自然数N，使得对于所有 𝑛≥𝑁，序列与空间中的一点L之间的距离小于ϵ。如果用严格的数学，就是下面的表达式：
我们就说该序列具有极限L,记作下面的式子：
然而，这种方法依赖于你要事先知道这个序列的极限为L才能去验证，但是在很多时候我们并不知道该序列的极限，有的数学家克服这个问题，提出了柯西序列的概念。
柯西序列
柯西序列被定义为随着序列的进展(n趋于无穷大)，元素彼此任意接近。对于符合柯西序列资格的序列，给定的任意小的正距离ϵ，序列中存在一个指标点，超出这个指标的任何两个元素之间的距离始终小于ϵ，用数学表达就是下面的式子：
让我们看一下ℝ中的一个序列：3, 3.1, 3.14, 3.141, …。这个数列连续为π近似值添加一位小数。在这个例子中我们使用常用的度量 𝑑(𝑥,𝑦)=∣𝑥−𝑦∣。对于 𝑚<𝑛，第m项和第 n项之间的差异逐渐小于：
因此，对于任何正数ε，都存在一个N，使得对于所有大于N 的m和n ，第m和第n元素之间的差小于ε。
完备的概念
收敛序列始终是柯西序列。然而，并非所有柯西序列都收敛。要看到这一点我们可以考虑有理数ℚ里面的柯西序列，该序列中的每一项都是有理数。
如果序列有极限x，则
然而，没有有理数可以满足这个条件。该序列在ℚ内没有极限，这意味着在有理数中这个柯西数列不会收敛，但如果我们考虑的空间是ℝ，很明显我们这个数列就有极限了。这是完备概念的雏形。如果该空间中的每个柯西序列都收敛到也在该空间内的极限，则称度量空间是完备的。
使用不完整的度量空间会带来一系列挑战。比方说我们可以使用迭代方法或数值方法构建一系列近似解。随着序列的进展，近似解变得越来越接近，在度量空间中形成柯西序列。理想情况下，我们希望这些近似收敛到一个极限，然后证明这个极限确实是一个解。然而，只有当底层度量空间是完备的，这种方法才能保证有效。否则，我们可能需要扩展空间。
