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2.代数学的进展——数系的扩展，群论的诞生 近世代数，如同古典代数那样，是关于运算的理论，但它不把自己局限于研究数的运算的性质上，而是研究更具有一般性的元素上运算的性质，在19 世纪前，数学家对于数系的认识已经形成了自然数、整数、有理数、实数和复数五大数系。进入了19 世纪，数的理论的研究取得重大进展，对于五大数系的逻辑结构与性质的研究，建立起了严格的理论；同时数系的扩展使得代数学得到了解放，为各种新的代数系统的出现提供了基础。 1830 年，皮科克（1791—1858，英国）著《代数论》，对代数运算和基本法则进行了探索性研究，试图对代数学作类似于欧几里得几何学那样的逻辑处理，以演绎方式建立代数理论。后来，德·摩根（1806—1871，英国）等推进了皮科克的工作。德·摩根认为：代数学实际上是一系列“运算”，这种“运算”能在任何符号（不一定是数）的集合上根据一定的公理进行。这新的数学思想使得代数学得以脱离了算术的束缚，在那里，可以看到代数结构概念出现的踪迹，以及为建立代数公理系统所作的准备，为代数学中更抽象的思想铺平了道路。 1837 年，哈密顿（1805—1865，英国）发表了题为《共轭函数与作为纯粹时间的科学的代数》的论文，在这篇论文中将复数a＋bi 看作实数序对（a，b）而克服了对复数对几何直观的依赖，用实数序对定义复数的运算，并且说 明复数满足实数的运算规律。这样，实数a 被看作特殊的复数（a，0），从而完成了数系从实数向复数的扩展，在实数基础上建立起了复数理论的逻辑基础。哈密顿的这一工作对于后来的代数学发展具有重要的意义。它揭示了 数的概念有不同维数的差别，实数是一维的，复数是二维的，而且引导创造多维复数的方向。五大数系的乘法运算都满足结合律与交换律。在19 世纪早期，人们毫不怀疑地认为一切其它类型的数的乘法都应具有这些性质。 1843 年，哈密顿提出了四元数概念，于是一种乘法交换律不成立的数系诞生了。后来，哈密顿在其论著《四元数讲义》（1853 年）和《四元数基础》（1866 年）中对四元数作了进一步论述。一个四元数是一个有序四元数组（a，b，C，d），或具有a＋bi＋Cj＋dk 的形式，其中a，b，c，d 都是实数，i，j，k 与复数中i一样是基本单元。四元数中的a 称为四元数的数量部分，bi＋cj＋dk 称为四元数的向量部分。哈密顿还建立了四元数的运算法则，其中四元数的加减法运算与复数相应运算类似，在乘法运算中基本单元的运算如下： i2=j2=k2=1， jk=—kj=i， ki=—ik=j， ij=—ji=k。 四元数的乘法满足结合律，但乘法没有交换性。一种不满足乘法交换律的数学对象的提出，或者说一种非交换的代数结构的发现，是一次重要的代数创造，它打破了对于“数”所必须遵循的规则的古老信念，四元数理论的建立， 对代数学的影响是深远的，它为向量代数、向量分析以及结合代数理论的发展打开了大门。 1844 年，格拉斯曼（1809—1877，德国）发表了独创性著作《线性扩张理论》，建立了有n 个分量的超复数系理论。超复数比四元数更具有一般性，格拉斯曼考虑的是一个n 元有序实数组（x1，x2，⋯，xn）或写成x1e1＋x2e2 ＋⋯＋xnen 的形式，其中e1，e2，⋯，en 是基本单元，两个这样的超复数可以定义相等、相加和相乘等运算与关系。但允许有不同的乘法，如格拉斯曼还为这种超复数引进了称为内积与外积的两种乘法运算。在这里，对于不同 的乘法定义就可以创造不同的代数，这正是格拉斯曼扩张工作的重要性所在。 哈密顿、格拉斯曼等的开创性工作，提出的不同于普通代数的新的代数思想，导致了代数学的解放，促进了各种新的代数结构的产生和发展，从而打开了通向抽象代数的大门。 群是具有一种运算的抽象代数结构，它是现代数学中最为重要的概念之一。群论在许多学科领域有着广泛的应用，起着积极的作用。群的概念起源于解高次方程，虽然在拉格朗日（1736—1813，法国）、高斯、鲁菲尼（1765 —1882，法国）和阿贝尔（1802—1829，挪威）等的研究工作中已蕴涵了群论的萌芽和一些结果，但是群论公认的创立者是伽罗瓦（1811—1832，法国）。伽罗瓦在世时只发表了几篇数学论文。1829 年，伽罗瓦将两篇关于代数 方程可解性的论文呈送法国巴黎科学院，不幸遗失。1831 年，在泊松（1768—1840，法国）的建议下，伽罗瓦写了一篇题为《关于根式解方程的可解性条件》的论文，但是泊松认为这篇论文“不可理解”而被退回。1832 年，在 伽罗瓦决斗致死的前夕，他整理了他的数学手稿，概述了他得到的主要研究成果，托交给他的一位朋友，这份数学遗稿后来被保存下来了，内容实际上包含了关于群论和方程的伽罗瓦理论。但是，在当时人们并不理解伽罗瓦的 工作。 在伽罗瓦死后14 年，即1846 年，由刘维尔（1809—1882，法国）在《纯粹与应用数学杂志》上编辑发表了伽罗瓦的部分论文之后，伽罗瓦的工作才逐渐引起人们的注意。1852 年，贝蒂（1823—1892，意大利）发表了介绍伽 罗瓦理论的文章。1866 年，塞雷特（1819—1885，法国）在他的《高等代数教程》一书（第3 版）中将伽罗瓦理论以教科书的方式作了叙述，同时给出了一些新的结果。1870 年，若尔当（1833—1922，法国）在其名著《置换和代数方程论》中给出了伽罗瓦理论的第一次全面清楚的论述。伽罗瓦深入研究的是代数问题，他最主要的成就是：提出并论证了代数方程可用根式解的普遍的判别准则，彻底解决了代数方程根式可解性问题，从概念和方法上为最基本的一种代数结构——群论奠定了基础。关于用群论方法研究代数方程的解的理论，为了纪念伽罗瓦，后来称之为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论对于近代数学的发展起了深远的影响，在伽罗瓦的短暂一生中，他为数学注入了新 的思想，将数学引向新的轨道。 后来，在群论的领域由凯莱、戴德金（1831—1916，德国）与李（1842—1899，挪威）等继续工作，这些工作不仅扩展了群论，而且将它应用于各个领域，如在几何学中群论起到了统一分类的作用。群的概念在代数中作为一个综合的基本结构，是抽象代数在20 世纪兴起的重要因素。 3.分析学的严格化，复变函数论的创立 一般说来，凡本质上与极限概念有关的数学分支称为分析数学。它是17世纪以来在微积分学发展的基础上形成的数学中一大分支。它曾和几何学、代数学并列为数学中三大主要分支。围绕着分析学的基础问题，在18 世纪曾经进行过一场争论。到了19 世纪，分析学中直观的然而并不严密的论证所导致的局限性和矛盾愈显突出。因此分析学的严格化问题日益引起数学家的关注。事实上，这时期的微积分虽然已发展成为一门独立的学科，具有丰富的内容和广泛的应用，但是它自己还未形成严格的逻辑体系。微积分学中的一些基本概念，如函数、极限、导数、微分和积分等概念都没有严格的定义。 分析学的严格化是从波尔查诺（1781—1848，捷克）、柯西（1789—1857，法国）、阿贝尔和狄利克雷（1805 —1859，德国）的工作开始的，并由外尔斯特拉斯（1815—1897，德国）进一步发展了的，其中柯西与外尔斯特拉斯的工作为最主要。通过上述数学家的工作确立了以极限理论为基础的现代分析学体系，这是19 世纪数学发展中 最为重要的成就之一。 1673 年，莱布尼茨（1646—1716，德国）首先使用函数这一概念。柯西在他的《分析教程》（1821 年）中从定义变量开始，对于函数概念引入了变量间对应关系。狄利克雷在1837 年以变量间对应关系的说法给出了（单值） 函数概念的现代定义，根据这个定义，对于函数不一定要求有解析表达式。如在1829 年给出的狄利克雷函数，即在一切有理数取值为1，在一切无理数取值为0 的函数。显然，这并不需要用解析表达式表示后才确定其为函数。 在分析学发展史上，极限理论的建立具有重要的意义，这一工作主要由柯西完成的。柯西通过变量概念，而不是用几何与力学的直观给出了极限的定义： “若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一固定值时，其差可以随意小，则该固定值称为这一串数值的极限。” 这是到那时为止关于极限概念的最为清楚的定义，柯西关于分析学基础的基本著作是： ①《分析教程》（1821 年）， ②《无穷小分析教程概论》（1823 年）， ③《微分计算教程》（1829 年）。 通过这几部著作，柯西奠定了以极限理论为基础的现代分析学体系。当然，用现代的标准来衡量，在柯西著作中的严格性是不够的，如用了“无限地趋近”，“可以随意小”之类的语句表述极限概念尚显得模糊。后来，经过狄 利克雷、黎曼，特别是外尔斯特拉斯的工作，才使得分析学的现代形式终于完成。外尔斯特拉斯思想清晰，善于澄清数学中一些基本而又模糊的概念。 1856 年，外尔斯特拉斯在柏林大学的一次讲演中主张将分析学建立在算术概念的基础上，提出了关于极限概念的“ε—δ”说法，对柯西的极限理论的叙述施以“ε—δ”语言。这样，用“ε—δ”语言叙述分析学中一系列概 念，如极限、连续、导数和积分等，建立了现代分析学的严格体系。1861 年，外尔斯特拉斯构造出一个处处连续但处处不可微的著名函数例子： f x a cos b x 0 a 1 b ab 1 ( )＝ n （ nπ ）， 其中＜ ＜ ， 是奇数，并且＞ ＋ π。外尔斯特拉斯的这个例子对 n= ¥å 0 3 2 分析学的发展产生了很大影响，它推动数学家去创造出更多的函数，这些函数虽具连续性却并不蕴涵可微性，以及函数可以具有各种各样的反常性质，其意义是重要的。它使得数学家更加不敢信赖直观的思考了。 柯西藉助于极限理论为分析学奠定了基础，外尔斯特拉斯在此基础上又将分析学算术化，这并不表明分析学基础的研究已经终结。随着分析学的概念精确化与体系严格化，使得数学家认识到必须建立起严格的实数理论。因为分析学中的许多问题必须借助于实数才能解决，如极限理论，连续性与可微性等都与实数性质相关，所以为了保证分析学结论的正确，应当把分析学理论完全建立在数的基础上，这样就要求有完整的实数理论。1872 年，戴德金出版了《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论，从而建立在极限理论基础上的分析学形成了严密的理论体系。所以，1872 年可以看作是分析学基础完成的 一年。 18 世纪末到19 世纪初建立了复数与其代数运算的几何表示，是复变函数理论建立的一个重要步骤。复变函数理论的研究对象是复变数的函数，柯西在建立严格的分析学理论的同时，为复变函数理论奠定了基础。1814 年， 柯西在巴黎科学院宣读了复变函数理论的第一篇重要论文《关于定积分理论的报告》（1827 年发表），开创了复变函数理论的研究。柯西在复变函数理论领域作出了出色的贡献，他给出了柯西——黎曼方程，定义了复函数沿复 数域中任意路径的积分，并得到了复函数沿复数平面上任意路径积分的基本定理（即柯西积分定理），由此导出了著名的柯西积分公式 f z i f z ( ) d ( ) = - ò 1 2p x x x G 。 上述定理和积分公式是复变函数理论的基础。柯西还定义了复变函数在极点处的留数，给出了计算留数的公式，以及建立了留数定理。 1826 年，阿贝尔发表了《关于很广的一类超越函数的一个一般性质》的论文，开创了椭圆函数理论的研究。1829 年，雅可比（1804—1851，德国）著《椭圆函数论新基础》，奠定了椭圆函数理论的基础。阿贝尔与雅可比创 立的椭园函数理论可以说是复变函数理论在19 世纪发展中最重要的成就之一。此外，外尔斯特拉斯等对此都作出了重要的贡献。 1851 年，黎曼在其博士论文《单复变函数的一般理论的基础》中确立了单值解析函数的黎曼定义，特别是阐述了现称为黎曼面的概念，以及共形映射定理，这一定理称为黎曼映射定理，它成为复变函数的几何理论的基础。 黎曼的这篇论文是复变函数理论的经典性著作。 总之，在这一历史时期复变函数理论已发展成为内容丰富、理论完美、被称为抽象学科中最为和谐的理论之一，它是19 世纪数学中最为独特的创造。 http://blog.sina.com.cn/s/blog_4e86d96f0100c9of.html (2009-01-06 11:46:42) |
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