元数，8元数 同 Clifford algebra 有本质不同。实数，复数，Hamilton 4元数 和 Caylay 8元数都是可以做除法的，他们属于同一体系。从实数扩展到复数颇为容易，但是扩展到四元数就牺牲了交换律，扩展到8元数又进一步牺牲了结合律。Clifford algebra 都是结合代数，它们没有算术上的意义，它们的存在性是平凡的。 实际上8元数已经到了“数系”扩展的极限。也就是说，只有 R, R^2, R^4, R^8 这些向量空间上存在线性二元运算（乘法）使得每个非零元有逆。这个跟球面的切丛是不是平凡丛几乎是一回事。只有 S^1, S^3, S^7 有平凡切丛，正好对应于扩展到复数，四元数， 和8元数。Allen Hatcher 的网上免费教材 “Vector bundles and K-theory" 把这个问题讲得非常清楚。 对现实的四维实时空的最简单扩展无疑是四维复时空。这种扩展是如此直接，以致保证了Nother定律将自然成立。因为这一方面是拉格朗日量能够而且只能够确定到任意四维散度，另一方面是由于Cayley定理成立。自从1843年在Hamilton发现四元数以后10年，1854年A.Caylel进一步发现了八元数，1857年又证明了在环R 上可除代数仅有的可能维数为1、2、4、8的代数，即8维是最大的可能维数。因此，八元数可用于表示4个独立实变量和4个独立虚变量。在这个8维时空中，能够保持算术定律和函数理论的有效性，因而其中的物理量能够满足经典物理的守恒律。
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