4个单个数学函数单调等性质解析之十一

主要内容：

■单个函数性质之一：函数y=(x-24)(7x+8)^3的性质

■单个函数性质之二：函数y=√[11+√(21-6x)]的性质

■单个函数性质之三：函数y=(x-25)(x-13)(x-10)的主要性质

■单个函数性质之四：函数y=15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)的性质

■单个函数性质之一：函数y=(x-24)(7x+8)^3的性质

※.函数定义域：

根据函数的特征，函数是幂函数的乘积，可知自变量x可以取任务实数，所以函数y=(x-24)(7x+8)^3的定义域为：(-∞，+∞)。

※.函数的单调性：

∵y=(x-24)(7x+8)^3，

∴dy/dx=(7x+8)^3+(x-24)*3(7x+8)^2*7

=(7x+8)^3+21(x-24)(7x+8)^2

=(7x+8)^2[(7x+8)+21(x-24)]

=(7x+8)^2(28x-496).

令dy/dx=0，则x1=124/7≈17.71,此时函数的单调性为：

(1).当x∈(-∞，124/7)时，dy/dx<0，此时函数为减函数；

(2).当x∈[124/7,+∞)时,dy/dx≥0，此时函数为增函数。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(7x+8)^2(28x-496).

∴d^2y/dx^2=14(7x+8)(28x-496)+28(7x+8)^2

= (7x+8) [14(28x-496)+28(7x+8)]

=42(7x+8) (14x-160)

令d^2y/dx^2=0，则(7x+8) =0或者(14x-160)=0，

求出x2=-8/7≈-1.142x3=80/7≈11.428,此时函数的凸凹性为：

(1).当x∈(-∞，-8/7)，(80/7，+∞)时，d^2y/dx^2>0，此时函数为凹函数；

(2).当x∈[-8/7,80/7]时, d^2y/dx^2≤0，此时函数为凸函数。

■单个函数性质之二：函数y=√[11+√(21-6x)]的性质

※.主要内容：

主要介绍根式复合函数y=√[11+√(21-6x)]的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数的定义域

对于根式函数y=√[11+√(21-6x)]，要求为非负数，所以有：

21-6x≥0，即x≤7/2≈3.50,

则函数的定义域为：(-∞,7/2]。

※.函数的单调性

两种思路来解析函数的单调性。

(1)函数单调性法

该函数y=√[11+√(21-6x)]由以下函数复合函数，即：

y=√u，u=11+√v，v=21-6x，

其中v为一次函数，且为减函数，则u=11+√v也为减函数，进一步知y在定义域上也为减函数。

(2)函数导数法：

根式函数y=√[11+√(21-6x)]，对x求导有：

dy/dx=(11+√(21-6x)) '/2√[11+√(21-6x)]

=-(6/2√(21-6x)) /2√[11+√(21-6x)]

=-3/[2√(21-6x)*√(11+√21-6x)]＜0,

所以函数y为减函数。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=-3/[2√(21-6x)*√(11+√(21-6x)]

∴d^2y/dx^2=(3/2)*[√(21-6x)*√(11+√(21-6x)] '/[(21-6x)( 11+√(21-6x)],

=(3/2)*[-6√(11+√(21-6x)/2√(21-6x)+√(21-6x)* (√(21-6x)'/2√(11

+√(21-6x)] /[(21-6x)( 11+√(21-6x)],

=-(9/4)[22+√(21-6x)]/ √[(21-6x)( 11+√(21-6x)]^3＜0.

所以函数为凸函数。

※.函数的极限

lim(x→7/2) √(11+√(21-6x))= √11;

lim(x→0) √[11+√(21-6x)]=√(11+√21);

lim(x→-∞) √[11+√(21-6x)]=+∞。

■单个函数性质之三：函数y=(x-25)(x-13)(x-10)的主要性质

※.函数的定义域

根据函数的特征，函数自变量x可取全体实数，则函数的定义域为：(-∞，+∞）。

※.函数的单调性

本题介绍通过导数的知识，计算函数的一阶导数，得到函数的驻点，来解析函数的单调性并求出函数的单调区间。

∵y=(x-25)(x-13)(x-10)

∴dy/dx

=(x-13)(x-10)+(x-25)[(x-10)+(x-13)]

=(x-13)(x-10)+(x-25)(2x-23)

=3x^2-2*48x+705。令dy/dx=0,则：

x^2-32x+235=0，由二次方程求根公式求出两根为：

x1=(16+√21)≈20.5;

x2=(16-√21)≈11.4。

此时，判断函数的单调性有：

(1).当x∈(-∞，11.4]∪[20.5,+∞）时，

dy/dx≥0，函数y在定义域上为增函数；

(2).当x∈(11.4,20.5)时，dy/dx＜0，

函数y在定义域上为减函数。

※.函数的凸凹性

求出函数的二阶导数，得到函数的拐点，并解析函数的凸凹性及凸凹区间。

∵dy/dx=x^2-32x+235,

∴d^2y/dx^2=2x-32。

令d^2y/dx^2=0，则x=16.

(1).当x∈(-∞，16]，d^2y/dx^2≤0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(16，+∞），d^2y/dx^2＞0，

此时函数y为凹函数。

※.函数的极限

lim（x→-∞）(x-25)(x-13)(x-10)=-∞；

lim（x→+∞）(x-25)(x-13)(x-10)=+∞。

■单个函数性质之四：函数y=15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)的性质

※.主要内容：

主要介绍函数y=15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

※.函数定义域：

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(5+2x)/27x＞0，即不等式解集等同于27x(5+2x)>0，则x>0或者x＜-5/2, 所以函数的定义域为：(-∞，-5/2)∪(0，+∞)。

※.函数的单调性：

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y= 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)=15[ln(5+2x)-ln27x]-75/(5+2x),

∴dy/dx=15[2/(5+2x)-1/x]+150/(5+2x)^2

=15[2x-(5+2x)]/[x(5+2x)]+150/(5+2x)^2

=75{2/(5+2x)^2-1/[x(5+2x)]}

=-375/[x(5+2x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-5/2)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

※.函数的凸凹性：

∵dy/dx=-375/[x(5+2x)^2]

∴d^2y/dx^2=375*[(5+2x)^2+4x(5+2x)]/ [x^2(5+2x)^4]

=375*[(5+2x)+4x]/ [x^2(5+2x)^3]

=375*(5+6x)/ [x^2(5+2x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有5+6x=0,即x=-5/6,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(5+6x)>0且(5+2x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-5/2)时，有(5+6x)<0且(5+2x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

※.函数的极限：

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)=15ln(2/27);

Lim(x→-∞) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)=15ln(2/27);

Lim(x→-5/2-) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)= +∞;

Lim(x→0+) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)= +∞。