在前面的文章中，我们介绍了CATO原理的数学模型以及两个经典的魔术应用系列：Baby Hummer和Royal Hummer，以及它们的拓展，详情请戳：今天我们继续从经典出发，介绍Parity Principle的相关应用。先回顾一下其表述：Theorem 1（Parity Principle）from 《Magical mathematics》：Let a deck of 2n cards start all face-down. After any number of “turn two and cut at random” operations, the regularity is forced: The number of face-up cards at even positions equals the number of face-up cards at odd positions.这个原理是Bob Hummer关于CATO原理最早的论述。在本系列首篇中提到过，这其实是一个加上了方程组的推论，更本质的是CATOQD性质的不变的操作集。抛开这个解方程的过程（两个方程来自牌叠的奇数位置和偶数位置各占牌叠一半，全背面向上牌叠的CATOQD性质也是两个大小相同的集合得到），我们从中却可以抽取出一个核心结构。那就是，这里的自由巧合的效果和baby和Royal Hummer中只看中二元性质中的一个等价类集合（要么是选牌，要么是给定的牌的组合）不同，这里看重的，是两个集合。比如最原始的，全部都正面向上的牌叠，CATOQD性质其实是两个大小相同的集合。这两个集合的性质组合共同成为一种效果，比如集合的大小，集合元素的和等等。而因为两个集合在这个性质上可能还相等，因此又多了一层多对一的映射，得到一定的魔术效果。这个魔术是大约在10多年前，刘源的书《知无不言》中记载的魔术。也是我第一次接触到CATO原理的第一个魔术，那本书里还有不少巧妙呈现的数学原理魔术，算是我在这个领域的一个小入门。魔术整体的plot仍然是一个递进结构，最终呈现出3个预言的效果，2个张数组合和最终的Ace牌张的终极预言。过程仍然采用Royal Hummer的模式。进入是Royal Hummer的经典数牌定向翻转，8张，4对，有一对不同，勉强够用，因为基数少，可以有示例部分，否则1 / 4的混乱就有点少了。转化保持可以沿用《My Royal Hummer》中的三部曲，这三部曲最开始就是在这个魔术中被我反复修改来的，竟然过去了10年才最终定稿。结尾的呈现有点说法，其中1 vs 7和最终剩下一张是Ace其实是一个效果，都是CATOQERQV性质的保持，这个甚至有点像扩展的Baby Hummer的结构了；但是前面的3 vs 5的效果是需要解释的。这里我们借用翻转的交换性，假设一开始是单元素全集的CATOQERQV集，Ace不单独成集合，那么因为牌叠的奇偶位置数量相同，那么对应的两个朝向也得相同，才能刚好构造出全都相等的CATOQ性质。因此也就是4 vs 4，而Ace在其中任何一个4中，因此翻转转化后，一定是3和5的无序组合。整体看，是应用的集合大小组合的不变性作为效果呈现，附带加上了Baby Hummer单张集合的效果作为结尾，以初始的集合也作为开端，形成了一个不错的立体效果。这个魔术来自Kent Bessey教授的数学魔术科普视频。这个系列的作品可谓是数学味十足，是典型的数学派研究数学魔术的味道，看到它之前真没想到这样的宝藏会存在！在gilbreath的系列中，也是以集合的元素和作为性质来构造魔术效果的。这里也不例外，我们需要加起来刚好42的若干张牌，按平均值7计算，就是6张比较合适。同时，为了让最终的ERQV(O)的两个集合都可用，我们需要两套42，使得任何一面都可用，那就是12张牌。因此这个事就很简单了，我们搞两套互不相干的和为42的牌组，分别放置在奇数和偶数位置，那就是直接形成了已经进入的CATOERQ性质，其元素刚好是这两个和为42的牌集合，最后转为ERQV(O)就即为所求了。而且这里选择的是让观众自己CATO洗乱，一方面是因为这里的意思是捣乱方向，而不是乱序再洗。后面也有类似的考虑，在选择用什么plot上是很有讲究的。这么选除了是捣乱方向外，还有一种原因是牌叠的呈现不能给观众或魔术师看，只能暗地里进行，比如前面的dead parity sketch就是不能看，观众操作；后面有个predicatable parity则是魔术师不看，观众操作，这些都造成最后如此选择CATO操作的原因，不是每个都要用Royal hummer的操作的。作为一个全新的魔术，总得还有点憋得创新才行。除了CATOQERQV，这个牌叠还可以看作是T = 2的周期序列，周期数为6，其中周期等价性为属于同一个元素和为42的集合。而我们知道，n-cycle和nKMP之间是可以相互转化的等价性质，而内部也可以有很多保持操作。但因为n = 2时，KMP才能even cut，和2-cycle之间才能多叠任意合并，以及对Mirror的转化这些不错的操作（只有Peirce deal勉强可行），所以，如果是一个T = 6,2-cycle的状态，会有更好的自由操作：2-cycle keep：Peirce deal，cut，turn overKMP：EvenCut（或者偶数次oddcut和任意次evencut的复合），桌面n叠合并Mirror：straddle faro shuffle2-cycle <-> KMP：发牌n叠，任意合并；发牌2叠，任意合并2-cycle <-> Mirror：half-COAT，turn over half；half-COAT，turn over halfKMP <-> Mirror：monge shuffle；milk shuffle那这就简单了。比如其中第1,3,5,7,9,11位置的牌，是CATOQERQV的目标v值集合，如果按照T = 6看，恰好是每个周期有3组，一共42的话，每组和为14就行了。这里仅仅对集合的元素和有要求，可以说自由度是非常大了。因此周期性性质改为和为14，能组成和为14的元素集，T = 6,2-cycle，而此时形成的CATOQERQV的集合刚好是3组2cycle的元素，加起来刚好是14。而且刚好也用上了不同周期相位上的等价关系值相等的性质，才能在周期性保持情况下随意洗动了。另外，这里还要求n为4的倍数，即单周期得是偶数，否则偶数位置的同向牌就无法取到奇数周期的对应牌值了，这正是peirce发牌不满足的条件。不过mirror和KMP状态倒是没这个要求，但是偶数是必须的，因为配对的张数本就是偶数才是。但是mirror和KMP的奇偶位置分别取的都是一个周期，这并非所求。因此核心过程还是要转回2-cycle才能进入CATOQERQV状态。当然KMP自己进入CATOQD状态的话，直接取任意3个连续2张的牌叠，内部甚至还可以洗牌，再faro shuffle到一起就好了。甚至都不用一叠翻面，因为本来就需要它们CATOQ状态不同。那这个洗牌在不明白内部性质转化过程的观众眼里，实在是太混乱，太神奇了。好了，那拿着这个牌叠怎么等价自由转化于2-cycle，kmp和mirror就随便玩了，这简直可以随心所欲不逾矩地创造出无穷无尽地流程来，甚至做到每一次表演都不一样，想起能做的操作就做，只要保证性质能一直以某个方式存在，然后转化到需要的性质即可。直到满意了切入到CATOQD，就再也转不回来（被包含的性质），最后仍然以ERQV(O)值性质作为结尾，随意选一面，加和，即为预言之所求！注意，这里的CATOERQV性质并不是确定的，而是一系列和为42的可能的C(6, 3) / A(2, 2) = 10种集合结果的并集来的，这结构一复合，复杂到令人发指！顺便补充一下，所谓牌叠等价性质，是牌值等价性质的多种表达。即，本质上就是v in 0:11上的一个值函数，其值域元素可以划分为6个2元素子集，其交集为空并集为全集，使得每个子集的值和为定值。而所谓的牌叠上的等价表达，其实就是能根据牌叠上的位置，朝向等性质能够描述出这个等价的集合。比如2-cycle就是位置值差6的等价关系商集，KMP则是/2相等作为等价关系，Mirror则是顶底索引值相等为等价关系，最终的等价类结果从未改变，改变的只是达成它的性质值而已。比如值函数和为14也是得到这个商集结果的性质，跟着也不变了。而性质保持操作集显然就是在牌叠等价性质之间变化，转化操作集就要看性质之间的关系，如果对应的是牌叠等价性质，那这两个性质则相等，没有包含关系，转化可逆，否则就是一次单向的转化，比如从Mirror/KMP/2-cycle就是等价关系，以其牌叠等价性质代表，而转为CATOQD后，就在不管牌值转不回去了，那是更宽松，但是也够用，操作也更自由的性质。一切刚刚好。而CATOQERQV和ERQV(O)也是等价关系，有同构映射存在。那为什么Mirror/KMP/2-cycle的性质可以转为CATOQD呢？那就要看组成前者的集合等价性质是什么了，如本魔术用的是和14，那自然随意合并3个元素集合即得到42和的两个集合了，这显然有很大自由度，而且完全回不到从前了；另外，如果是个相等值的关系，那显然直接取其2个周期构成新集合构成集合才是所求，新集合此时才有和老集合完全相等的性质，和也自然相等了。每个牌叠状态，都可以用不同的状态函数来衡量其所属的性质和集合，自然也就有对应的状态操作集，来保持和转化他们，这就像对同一个对象的不同视角下，有不同的性质一样。CATOQD和ERQV(O)这样的性质函数是用其值给所有的牌叠状态分类的，相互还均匀，各类内部由性质保持操作构成完全图，类和类之间则完全不联通。而Mirror/KMP/2-cycle这类性质，只有是否两个答案，只能分为两类而已，自然没有那么灵活地划分。一旦破坏，也难以恢复。
好了，本期聊到这里，下期我们继续聊Parity Principle的应用，看看集合的性质还能玩出什么花样来！视频3 My Predictable Parity
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