【原】这个关联速度传统老题的解析，学生真能懂吗？

一般来说高一的第一学期大家都会向前稍稍抢些教学进度出来，抓住主线讲一讲，但是不过多深挖，然后在第二个学期开始的时候把细节老老实实地砸一砸。比如运动的合成与分解，除了小船渡河，可能还会挖一挖绳端、杆端、接触点、交叉点的速度合成与分解，也就是一些竞赛小册子里会把它称为“关联速度”。

制造“关联速度”这种新词儿，往往会把学生搞晕。我觉得不如老老实实抓基本概念。前两天顺手做到这个题，某某网上的材料，带着解析。做完了题之后，扫一眼它的“解析”，心下以为不妥：这种解析学生能看懂吗？

这个题出现的时间很早很早。这个解析里面讲的是“随半圆柱体一起运动”，可是杆水平方向运动了么？没有。测试它一下：把它发给一个挺厉害的孩子，问，看懂了吗？答，没有。我也没看懂，但知道写解析这个人心里是怎么想的。

高一到了结束第一学期和开始第二学期的时候，数学虽然进度不同，但好像有的讲完了三角函数和差化积公式，有的讲完了向量，所以这个题可以有这样三种比较好明白、能说清楚道理、尽量不碰微积分的解法：1、纯物理的变换参考系解法；2、数理结合的矢量加减法；3、和差化积加近似计算的微元解析解法。

一、变换参考系

因为杆只能向上运动、只有竖直速度，因此以圆柱体为参考系时，并不影响其竖直速度。此时观察者将看到杆与圆柱体接触点沿圆弧方向运动，以这一速度为对角线，两邻边上的分运动互不影响，则应互相垂直，则速度关系如图，有。

二、向量加减法

其实从变换参考系方法上就能看出来了，这些向量的脚标之间是有关系的，即， 也就是A对C的速度，等于A对B的速度（矢量）加上B对C的速度，就好像你和张三借了10块钱，张三借了李四10块钱，那你就直接把10块钱还李四就行了。

是，是，如果再找到，就有关系。是杆以圆柱体为参考系的圆周运动速度，沿圆弧切线，这就是它原解析的图示含义，但不要把说成是“杆随半圆柱体一起运动的速度”。

当然，直接使用三角形法则更便捷。

二、微元解析法

现在把所有的物理量都考虑成带正负号的代数量，在竖直方向上，杆原来的竖直高度

后来

则

由三角公式并考虑，，有

……①

上面这个式子，实际从弧度的定义式出发也能得到。

在水平方向是，设杆初始时在地面上，则

后来

两式做差，由三角公式和近似计算，有

……②

在①、②式中替换掉，得到

。