【原】触类旁通——类比法在解题中的应用

由雨滴下落运动联想解答电学问题

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在研究雨滴下落的问题时，我们建立如下的力学模型： 假定质量为的雨滴受到的空气阻力,比例系数为,由静止下落的雨滴将做变速运动。取雨滴刚要下落的瞬间为,为了研究速度与时间的函数关系,可以列出牛顿第二定律： ,即速度  总满足微分式： 。

微分方程的求解

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1. 分离变量
   将方程改写为：
   
   两边积分：
   

2. 积分左边
   令 ，则 ，积分变为：
   

3. 积分右边
   

4. 联立并化简
   联立两边积分结果：
   
   两边乘以 ：
   
   取指数函数：
   
   解得速度函数：
   

5. 代入初始条件
   假设  时 ，代入得：
   

6. 最终解
   

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物理意义：

当  时，速度趋近于终端速度 。

对应的速度图像为：

用类比的方法。在研究自感现象时，电动势为 、内阻可忽略不计的直流电源与电阻为的小灯泡、自感线圈连成闭合回路，如图甲所示。

取开关刚闭合的瞬间为,为了研究电路中的电流与时间的函数关系, 也可以根据自感电动势满足的规律列出下列方程：  。 这个方程与 形式类似，这说明函数与函数都遵循相似的数学规律。将这里的替代雨滴下落时方程中的,替换原来的,替换原来的,则该过程的的函数为

如图乙所示。

取开关刚闭合的瞬间为,为了研究电路中的电流与时间的函数关系, 也可以根据自感电动势满足的规律列出下列方程：  。 将这里的替代雨滴下落时方程中的,替换原来的,替换原来的,则该过程的的函数为

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