【原】数与图(16)——导数与运动

在《数与图(14)》中，我们介绍了微分、导数及积分的定义，在《数与图(15)》中，根据导数的定义，计算了函数曲线上某一点D的导数，并绘制了曲线过D点的切线。无论是程序求导方法，还是数学求导方法，它们都给出了一致的结果。

在小学和初中阶段，数学这门课总是要解很多应用题，就难度而言，应用题的难度一般大于计算题，但是无论如何，这些应用题也跑不出我们日常生产和生活的场景，因此学生们很容易用所学的知识来解决这些问题。然而，进入高中后，随着年级不断增高，应用题似乎越来越少了，这是因为我们学习的内容越来越抽象，这也就意味着这些知识越来越远离我们的经验世界，于是一个很大的困惑就此产生了：这些知识除了可以开发我们的智力，还能有哪些实际的用处？

我让一位高中生读了前两篇关于微积分的文章，他反馈说能够理解这些内容，但同时提出了疑问：它们有什么用呢？这个问题是提给我的，而我的任务就是找到一些关于导数的“应用题”来满足读者的好奇心。

一个最简单的例子就是解释物体的运动。导数，dy/dx，它的本质是变化率：让x以某个固定的间隔变化，来研究y的变化幅度。在《数与图(15)》中我们研究的是一个六次幂函数，在函数的数学表达式中，x和y是两个抽象的、无意义的符号，但是当函数被画成曲线后，x、y就有了具体的含义——表示空间的距离，即长度。现在我们要赋予x、y更为具体的含义：位移和时间。

位移是一个描述物体位置变化的物理量，它与路程有所不同，但是当物体作直线运动时，位移与路程相等。为了避免引入过多的物理概念，这里只讨论物体作直线运动的情况。

为了远离数学的抽象，我们放弃使用x、y，而是用s来表示位移，用t来表示时间，那么假设在dt时间内，物体的位移为ds，那么ds/dt是什么呢？或者用小学生的语言来说，路程除以时间，得出的是什么呢？很简单，是速度。

从前我们是如何定义速度呢？是单位时间内物体移动的距离。现在把单位时间替换成dt，这意味着时间间隔变小了，从前的时间单位是秒，现在可能要替换成毫秒、微秒甚至纳秒。当时间间隔不断变小时，速度的含义也发生了变化，从平均速度变为瞬时速度。

现在来具体研究两种典型的运动：匀速直线运动和匀变速直线运动。

匀速直线运动，顾名思义，物体作直线运动，而且速度保持不变。如果用v表示速度，那么物体的运动方程可以表示为

s=vt                   ⑴

这里所说的运动方程，就是表示位移与时间关系的函数，具体说，它描述的是任意时刻物体的位移，给定一个t（t>0），就有唯一的一个s与t相对应。

函数表达式⑴中，t为自变量（相当于x），s为函数（相当于y），v为常量，如此看来，式⑴本质上是一次函数，那么按照上篇文章中的数学求导方法，函数的导数为

s’= v                 ⑵

显然，位移对时间的一阶导数为速度。当dt趋近于0时，s’就是时刻t的瞬时速度。

匀速直线运动是一种最简单的运动形式，是初中物理的内容。高中物理开始引入了加速度的概念，它的定义是单位时间内物体运动速度的改变，所谓匀加速直线运动，指的是物体作直线运动，且加速度的大小保持不变。最简单的匀加速直线运动就是自由落体运动，这会让你联想起伽利略在比萨斜塔上做过的著名实验。

物体在重力作用下从静止开始下落，称为自由落体运动，其运动方程为

其中g是下落物体的加速度，它是个常量，其值为9.8米/秒² 。对⑶式求导，得到位移对时间的一阶导数

s'=gt

s’是物体下落过程中任意时刻的速度。再对一阶导数求导，得到位移对时间的二阶导数

s''=g

二阶导数s''正是下落物体的加速度。

下面我们回到App Inventor中，绘制两种运动所对应的函数曲线（包括直线），并观察曲线的特征。在《数与图(15)》项目的基础上，添加两个按钮（置于新增的水平布局中），修改文本输入框中的绘图参数，如图1所示。

图1 修改用户界面

然后编写程序，代码如图2所示。

图2 绘制运动方程曲线（直线）的程序

最后进行测试，结果如图3所示。

图3 程序的测试结果

在图3所示的坐标系中，横坐标是时间t，纵坐标是位移s，图中的直线对应的运动方程是s=5t，当t=0时，位移s=0，当t=20时，位移s=100；图中的抛物线对应的运动方程是s=0.5gt²，当t=0时，位移s=0，当t=2时，位移s≈20。由此可见，如果我们知道一个运动物体的运动方程，也就是位移随时间变化的函数，那么我们就可以获得任意时刻物体的速度和加速度，这是理解导数概念的最生动的例子，也是导数最经典的应用。

在运动方程中，我们把函数y=f(x)中的x、y替换成有物理意义的符号s、t，这是数学向应用延伸的重要一步。在现实世界里，我们习惯于用数字定量地描述事物的特性，比如温度、湿度、血压、心率，等等，有时我们关注这些数量的绝对值，但有时我们更关心这些数量的变化率。例如血压，一个人一生中血压会随着年龄的增大而缓慢地增高，这是一种自然规律，不必为此惊慌，但是，如果一个人在短时间内血压快速增高，那么就会引起身体的不适感，就必须予以重视，并采取必要的措施。

我们学习数学，就要学会将抽象的、普遍的真理应用到实际的工作与生活中，去解决真实世界里的问题。

最后，再让我们回顾一下《数与图(10)——跳动的心脏》中移动的小球，观察它的速度变化，体会一下导数的意义。