导数的概念

导数的概念

 

二. 教学重、难点：

1. 曲线的切线

2. 瞬时速度

3. 导数的概念

4. 导数的几何意义

 

【典型例题】

[例1] 求曲线在点（2，4）处的切线方程。

解：∵    ∴

∴

∴ 曲线在点（2，4）处切线方程为，即

 

[例2] 物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，求物体在时的瞬时速度及物体在一段时间内相应的平均速度。

解：∵     

∴ =

∴ ，即

∴

即在的一段时间内平均速度为。

∴

即

∴ 物体在时的瞬时速度是。

 

[例3] 利用导数定义求函数在处的导数。

解：

∴

∴

即    ∴ 函数在处的导数为

 

[例4] 利用导数定义求函数的导数，并判断在处是否可导？

解：当时，可使

则

当0时，同理可求

又 ∵

而

∴

∴ 在处不可导

 

[例5] 已知函数

（1）试确定的值，使在处连续，可导；

（2）求曲线在处的切线方程。

解：

（1）要使在处连续，则

，即

且

当时，即时，在处连续

      

若，则不存在。

故，则此时应有，在处才可导。

（2）由（1）知，=1，而

∴ 曲线在处的切线方程为，即

 

[例6] 已知函数，判断在处是否可导。

解：

∴     ∴ 不存在

即函数在处不可导。

 

[例7] 设函数在处可导，且，求。

解：

当时，

当时，

∴

=

 

[例8] 已知曲线上一点P（1，2），用导数定义求过点P的切线的倾斜角和方程。

解：①

② 求平均变化率

③ 取极限

     ∴

即切线的斜率     ∵     ∴

∵ 切线过点P（1，2），由直线方程的点斜式得即

∴ 过点P（1，2）的切线的倾斜角为，其方程为

 

[例9] 已知抛物线（），通过点（1，1），且在点（）处与直线相切，求的值。

解：由

                 

                 

因为函数在点（）处与直线相切

∴    ①

又函数过点（1，1），（）

∴   ②

   ③

由①②③得

 

[例10] 证明：如果在开区间（）内可导，那么在（）内连续。

证明：任取

∵

                

  =

    ∴ 若在处可导，那么在处连续，由的任意性知，若在（）内可导，则在（）内连续

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 已知函数的图象上一点（1，）及邻近一点，则等于（    ）

    A. 4    B.     C.     D.

2. 已知曲线上一点P（1，），过点P的切线的倾斜角为（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 如果质点按规律运动，则在时的瞬时速度为（    ）

    A. 3    B. 9    C.     D. 27

4. 曲线在点P（4，2）处的切线方程为（    ）

A.                   B.     

C.                 D.

5. 抛物线上何处的切线与直线的夹角是（    ）

    A.     B.     C.（1，1）    D. 与

6. 过点P（）且与曲线在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是（    ）

A.            B.     

C.            D.

7. 函数的导数等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

8. 设，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

 

二. 解答题：

1. 已知函数，求。

2. 若一物体运动方程如下：，求此物体在和时的速度。

3. 若函数在处的导数为A，求。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. C

解析：，

∴

2. B

    解析：，∴ ，。

3. D

解析：∵

             

              

∴    ∴ =27

4. B

解析：

∴ 曲线在点P（4，2）处的切线方程为，即

5. D

解析：设切线斜率为，则，得或

又 ∵ ，令或，得或   ∴ 切点为与

6. B

解析：∵ ，∴ 所求直线的斜率为2

∴ 所求的直线方程为，即

7. A

    解析：∵    ∴

8. C

 

二.

1. 解：∵     

∴

∴

∴

∴

  2. 解：当时， 

∴

当时，

∴

∴ 物体在和时的瞬时速度分别是6和0。

  3. 解：∵

∴ （用替换）

∴