【课程】西南科大网教学院_数学分析12_4.1 导数的概念

4.1  导数的概念

4.1.1 导数的定义

    定义4.1.1  设函数在的某邻域内有定义，自变量在的增量，相应有函数的增量

    若极限        

存在，则称函数在可导，此极限称为函数在的导数(或微商)，记为

或

    若极限         

不存在，则称在不可导．

    设，则(1)式还可以表示为：

    导数的几何意义：光滑曲线c上一点的切线斜率等于它的方程在的导数．

4.1.2 可导与连续的关系

    1. 左导数与右导数

    由定义4.1.1及定理2.2.1，我们有如下定理：

    定理4.1.1  函数在可导的充要条件是：

与

都存在并且它们相等．

    由此可有如下定义：

    定义4.1.2  设函数在的右(左)半个邻域内有定义，如果

()

存在，则称该极限值为函数在右(左)导数．记为()．

    于是，我们得定理4.1.1的另一种说法：

    定理4.1.1*  函数在可导的充要条件是它在处左导数与右导数都存在并且它们相等

    2. 连续与可导的关系

我们知道：在=0处是连续的，但它在=0处不可导．由此可知，连续未必可导．反之，可导是否连续呢？回答是肯定的．

    定理4.1.2  若函数在可导，则在连续．

    证：因为

所以           

            

所以                     

即, 在处连续．

    定义4.1.3  若函数在开区间内每一点可导，则称在开区间可导；若在开区间可导，且在左端点有右导数，右端点有左导数，则称在闭区间可导．

4.1.3  无穷导数

    定义4.1.4  设在连续，若，则称在有无穷导数．

    实际上，函数在有无穷大导数，在几何上表现为曲线在点处有铅直的切线．但是，我们必须注意：函数在一点可导是指：函数在有有限导数．如果在点函数的导数为无穷大，则我们将总认为函数在不可导，尽管函数的曲线在有切线．

4.1.4 几何应用

    根据导数的几何意义，可以得到曲线在点P处的切线方程和法线方程．

    ⑴  若存在且不等于0，则曲线在点P处的切线斜率为，法线斜率为

，因而曲线在点P处的切线方程为：

在点P处的法线方程为：

    ⑵  若，则曲线在点P处的切线平行于轴，法线垂直于轴，因而曲线在P处的切线方程为：

在点P处的法线方程为：

    ⑶  若，则曲线在点P处的切线垂直于轴，法线平行于轴，因而曲线在点P处的切线方程为

在点P处的法线方程为          

典型例题：

    例4.1.1  试求函数（常数）在的导数．

    解：在处任给增量，.则相应有函数增量：

则                     

故有求导公式：                .

例4.1.2  在处是否可导？

    解：因为

且     

所以,　. 故,  在处不可导．

    从例4.1.2 知:函数在的导数就是的曲线在点处切线的斜率．因此，在处不可导，实际上就是表明了曲线在=0处没有切线．

例4.1.3  试证：在处有无穷导数．

    证：因为

         

所以，在处有无导数．　　　　　

    例4.1.4  试证：在处有右无穷导数和左无穷导数．

    证：

           

　　　　

故,  在处有右无穷大导数和左无穷大导数．

即, 函数在处有无穷大导数．

例4.1.5  求曲线在点处的切线方程和法线方程

    解：因为，所以曲线在点P处的切线方程为：

          

即                           

法线方程为：                 ,

即,                    .

例4.1.6  求曲线在点处的切线方程和法线方程．

解 由例4.13可知：，因而曲线在P点处的切线垂直于轴，其切线方程为：. 其法线方程为：.