导数及其应用

错解剖析得真知（三十一）

第十章   导数及其应用

 

§10.1导数及其运算

 

一、知识导学

 

1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。

2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。

3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。

2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。

3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则

5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.

6.几种常见函数的导数：

 (1)         (2)

(3)            (4)  

(5)               (6) 

(7)                (8)

 

二、疑难知识导析  

 

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点

（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.

(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。

(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。

3.导数的几何意义与物理意义

导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。

4.

  表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。

5.导数与连续的关系

若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数

在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。

6.可以利用导数求曲线的切线方程

由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因

此，曲线在点处的切线方程可如下求得：

（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]已知,则              .

错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.

正解：设,,则

.

[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？

错解：。

分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .

解：

　　　

　　　∴ f(x)在x=1处不可导.

注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.

[例3]求在点和处的切线方程。

错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。

分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；

点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．

解：

即过点的切线的斜率为4，故切线为：．

设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，

故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

[例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.

分析： 由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.

解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.

（2）令，得，当时，；当时，，

曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。

点评： 在已知曲线 切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

[例5]（02年高考试题）已知，函数，，设，记曲线在点处的切线为  .

（1）求 的方程；

（2）设  与 轴交点为，求证：

　① ；　　　　　②若，则

分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .

解：（1）

     

切线的方程为

即.

（2）①依题意，切线方程中令y=0得，

②由①知，

[例6]求抛物线 上的点到直线的最短距离.

分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.

解：根据题意可知，与直线 x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么,∴

∴ 切点坐标为，切点到直线x－y－2=0的距离，

 ∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为.

 

四、典型习题导练

 

1.函数在处不可导，则过点处，曲线的切线         （    ）

A．必不存在　B．必定存在   C．必与x轴垂直　 D．不同于上面结论

2.在点x=3处的导数是____________.

3.已知，若，则的值为____________.

4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _____________.

5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程.

6．若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点，并求出定点的坐标.