「求解微分问题」图解普林斯顿微积分读本 05

[遇见数学] 基于风靡美国《普林斯顿微积分读本》一书所制作图解系列, 内容章节安排完全按照此书推进, 提供更多的图像和动画来让读者体会微积分的无穷魅力, 建议配合原书来学习.

第6 章求解微分问题

6.1 使用定义求导

上一节已经学习到了导数的定义, 可以使用它来求解给出函数的导数, 在从分子分母中消去 h, 然后通过设 h = 0 求极限值, 现在列出常见函数的导数结果:

6.2 用更好的办法求导

一旦掌握了如何用定义来求导的方法, 就可以根据一些简单的法则由已经求得的导数来构造其他的导数了, 书中有详细的推导过程, 这里不再赘述, 只讲结论摆出来, 下面常用的那些会用到的求导法则:

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由

推荐查看《微积分的本质》相应第 4 部分内容: 《直观理解链式法则和乘积法则》里边用图形的方式解释的很清楚.

6.3 求切线方程

求导的一个好处就是可以使用导数来求所给曲线的切线方程. 求出过该点的切线的斜率是 f' (x), 使用点斜式来得到切线方程.

6.4 速度和加速度

求导的另一个应用是计算运动物体的速度和加速度. 一个物体沿着实轴运动. 我们发现, 如果在时刻t 它的位置是 x, 那么它在时刻 t 速度就是对 x 求一阶导.

速度是位置的瞬时变化比率, 物体的加速度是速度的瞬时变化比率. 也就是说, 加速度是速度关于时间t 的导数. 由于速度是位置的导数, 加速度实际上是位置 x 的二阶导.

6.6 分段函数的导数

6.7 直接画出导函数的图像