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数学素养与实用技巧2020-02-01 13:58 初中阶段第一次接触三角形，我们就知道了三角形中有三条重要线段：中线、高线、角平分线，一个惊人的巧合是，三角形的三条中线、高线、角平分线分别交于一点。大家之所以没什么触动，是因为这是课本明确告诉我们的，但是按照从特殊到一般的思维模式，我们不禁按照这样的路线去联想四边形，但是遗憾地，更多边形却并没有如此美妙的巧合。所以三角形大概是上帝的造物吧！
三条直线交于一点，这在经典平面几何绝不是一个容易证明的性质，我们往后学，慢慢学到了三条垂直平分线交于一点，也见识了三条内角平分线交于一点的证明，这两点就是和圆联系密切的三角形的外心和内心。证明的大体思路是：先找到这种线所应具备的性质及判定（垂直平分线与角平分线），然后找出两条直线相交的一点，最后说明这一点也在第三条直线上。个人觉得这种模式是很值得细细品味的（或许是多年后），相当于一种变形同一法。 但是遗憾的是，我们较少接触到关于三条中线与三条高线为何交汇于同一点的信息，这可能是因为对于中线和高线的性质我们暂时了解不多吧。但是作为一个充满求知欲的中学生，这个问题一定会萦绕在大家心头，直到多年后的一个下午方能解开。 今天我想向大家介绍一个更统一的、更简洁的工具来说明这些三线共点，这就是著名的塞瓦定理。首先我们把连接三角形一个顶点与对边上一点的线段称为三角形的“塞瓦线”（纪念），则中线、高线、角平分线就是三条特殊的塞瓦线。什么样的三条塞瓦线能够交于一点呢？这就是塞瓦定理与逆定理：
证明从略，面积法即可，注意采用燕尾模型较简便哦。由于该定理条件宽松，结论富有美感，记忆起来也很方便（从某一顶点出发按时针转一圈即可）,其中的逆定理是判定三线共点的有力依据，至此我们已经能够说明：三角形的三条中线及三条高线分别共点！
当然三条角平分线交于一点也可以用塞瓦定理逆定理再次证明，只要注意运用角平分线分对边成比例即可~
很多竞赛类辅导资料均非常注重塞瓦定理及逆定理的应用，设置大量复杂而艰难的习题以保证比例的寻找、代换、运算，却鲜少注意到其最原始的想法和最直接的运用，关于三角形中的特殊三线共点就是最好的注解说明，它高度体现了类比、统一。 塞瓦定理是人类文明平面几何的瑰宝，自从它问世以来，更多的特殊塞瓦线共点及其交点被陆续挖掘，如著名的“葛尔刚点”、“奈格尔点”等：
当然，有没有比较传统的、不需要课外知识的方法来证明三角形的三条高线共点呢？我不禁想起了小时候搞竞赛的美好时光，那是我第一次接触如此美妙的证明，这种艺术应该传承下去：
据说这是一位老前辈（罗增儒？）给出的妙证，对应了王元老先生的话：“数学好玩”。如果我们一开始只是带着好奇、欣赏、进取的心态去玩游戏，自然能越玩越好吧！其实这种证法可能源于三角形五心的性质之一：“一个三角形的外心是它的中点三角形的垂心”。但是知道得多了，好奇心、求知欲和激情也就相应减少了不是吗？还是做一个爱问y的无知少年吧！ 最后留两个简单的“心心相印”，看看你是否“心有所属”？ 1、三角形的重心是也它的中点三角形的重心； 2、三角形的垂心是其垂足三角形的内心。 ■说明：此文转自“数学素养与实用技巧”，声明，致谢！ |
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