【原】【数学思考】小题大做：长宽高的变化如何引起表面积和体积的变化

棱长的变化引起正方体的相关变化，也是五下常有的题型之一，也是易错知识点。

例如，正方体的棱长增加到原来的2倍，它的体积发生了什么变化？

一般情况下，学生想到的是举例验证的方法。假设原来的棱长为1，体积也为1；现在的棱长为2，体积为8。所以现在的体积就是原来的8倍。

如果就题论题，到这里就结束了。显然，可以把这个题目扩充一下，引导学生思考，如果棱长扩大到原来的2倍，除了体积发生变化，表面积和棱长总和会发生怎样的变化呢？

方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和就变为原来的（   ）倍，表面积就变为原来的（    ）倍，体积就变为原来的（     ）倍。

还是可以利用刚才的方法，也能快速得出结论。

有规律吗？如果把2倍改为3倍呢？也能够得出结论。再多举几个例子，猜想一下。

学生容易发现，棱长总和的变化和棱长的变化一样，表面积的变化和体积的变化和棱长的变化也有关系。

那我们就去思考一般的情况，如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么棱长总和就变为原来的n倍，表面积就变为原来的n^2倍，体积就变为原来的n³倍。

除了刚才的不完全归纳得出这样的结论。我们还可以利用已有的公式去推理得出结论。

显然，由于棱长总和本质是一维的长度，表面积是6个面积之和，每个面的面积（二维的面积）都和长宽两个维度的乘积有关。体积是三维的乘积（和长宽高都有关系）。所以，当棱长变为原来的n倍后，其棱长总和、表面积和体积就会发生上面的变化。

从数字到符号，从特殊到一般，从归纳推理到演绎推理，从感性到理性，逐步理解规律的本质，学生的抽象概括能力和符号意识得到培养。

那如果是长方体呢？如果长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，其棱长总和、表面积、体积也会有这样的规律吗？

通过举例验证，和刚才的结论是一样的。并且可以模仿着写出下面的结论。

如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么棱长总和就变为原来的n倍，表面积就变为原来的n²倍，体积就变为原来的n³倍。

此时，就可以模仿着进行演绎推理，验证了刚才的结论。这里借助表格，研究了长方体（正方体）表面积、体积的变化规律，不但得出了最一般的结论，更为重要的经历了数学探究从猜想到验证的一般过程，还利用了不同的推理方式明白了其中的道理。

看完文章记得点亮“在看”！