换个角度学习线性代数（二）

换个角度学习线性代数（二）

书接上回，咱们继续来学习线性代数，这一节关注点积 Dot Products

数字计算方法

向量点积的数字计算非常的简单，就是把对应的维度的坐标分别相乘，然后再相加求和：

几何意义

向量点积有很明确的几何意义， 代表将向量投影到方向上并求取投影后的长度以及自身长度的乘积。

同时，点积是有符号的，用正负号来表达和方向上的接近程度。 参考下面的动画，考虑两个向量的方向从“大致”相同到相互垂直再到方向“大致相反的过程”，其点积逐步减小为0、再到负数。相互垂直的向量点积为0

点积跟顺序无关

从向量点积的数字计算方法来看，似乎很容易得出向量点积跟顺序无关的结论，或者说满足交换律（），但是从几何意义上看起来这个结论似乎不那么直观，但只要稍加思索，还是可以从几何意义推导出该结果的。

首先，假设和是相同大小的两个向量，根据对称性或者全等三角形的视角，很容易得出（）的结论，具体参考下图：

针对两个向量大小不相等的情况，实际上可以用相似三角形的性质得出向量点积跟顺序无关的结论：

计算方法解释

然而，目前还有一个很重要的问题没有讲明白：从几何意义上讲，向量的点积就是向量在另一个向量上的投影长度再乘以向量的长度，为什么这个结果刚好就是两个向量的对应的维度的坐标分别相乘，然后再相加求和？或者说怎么解释向量的数字计算方法。

我们前面已经理解了线性变换的性质，也理解了可以用矩阵来描述线性变换（此时，矩阵中的每一列其实是基向量在经历该线性变换后的位置）， 可以使用该矩阵利用矩阵乘法计算任意向量在变换后空间中的新向量，同时也看到过，有些线性变换是会发生降维的。举个例子可以再回顾一下。

如下图所示，根据基向量线性变化后的坐标，可以知道描述该线性变化的矩阵为

我们可以用矩阵乘法计算任意向量在经历此线性变换后新的向量：

接下来再看我们的问题，我们实际上想要弄明白，向量在另一个向量上的投影长度再乘以向量的长度为何刚好等于两个向量的坐标分别相乘再相加。

为了研究向量投影的问题，我们考虑如下图的一种线性变换:我们在二维空间中放置一个倾斜的数轴，然后所有的二维向量都转换到该数轴上(是这个一维空间的基向量，其坐标为)，转换的方法就是投影，这个变换是线性的，因为明显满足线性变换中原点不变、等距分布的性质。

我们需要一个矩阵来表征这个变换，根据之前所讲的，我们只需要跟踪输入空间的和基向量在变换后的坐标位置。参考下图， 根据全等三角形或者对称性，容易得到:

也就是说变换后在新坐标的位置是, 变换后在新坐标的位置是,我们就可以得到代表该线性变换的矩阵为 ，这是一个很神奇的结论。

上面的结论很重要。我们可以进一步推导出如下的结论：为了求投影到方向上的投影，我们可以在方向上做一个坐标轴, 我们假定的长度为γ,那么这个坐标轴上的基向量为，这种投影是一种线性变换，代表这种线性变换的矩阵为。得到线性变换的表征矩阵后，我们就可以使用矩阵乘法求得在变换后的新坐标为：

换句话说， 投影到方向上的投影再乘以的长度之后，其结果就是。 我们得到一个很激动人心的结果， 从点积的几何意义推导出了它的数字计算方法。

对偶性，有点神奇

我们可以得出一个明显的结论，当已知一个向量，求取任意一个向量跟它的内积，就是计算与矩阵的乘法、就是在计算经过一个线性变换后的新坐标