第七章平行线的证明
1为什么要证明
教学目标
【知识与技能】
1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,从而认识到证明的必要性.
2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例推理证明等,理解数学的严谨性.
【过程与方法】
通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识.
【情感、态度与价值观】
发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实,培养学生进行深入思考的能力和质疑精神.
教学重难点
【重点】
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.
【难点】
体会数学推理的重要性和必要性.
教学过程
一、创设情境,引入新课
师:在以前的学习过程中,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?下面我们一起来感受几个例子!
1.探究一:观察得到的结论正确吗?
教师多媒体出示.
(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法体验你观察到的结论.
(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
学生凭着自己的观察和直观感觉说想法后,组织学生动手量一量、算一算,验证结论是否正确.
(图1中的两条线段相等;图2是正方形;图3中假设地球半径是R,则赤道长2πR,铁丝长(2πR+1)米,那么这个铁丝围成的半径是(R+)米,所以铁丝与赤道之间的间隙为米≈16厘米,能放进一个拳头).
然后引导学生回答下列问题:
(1)由观察得到的结论正确吗?
(2)你还能举出日常生活中的例子吗?
2.探究二:归纳得到的结论正确吗?
(1)听故事“公鸡归纳法”:
某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.天天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,该主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.
第1天有食吃,第2天有食吃……第99天有食吃,一定能推出第100天有食吃吗?从这个故事中你明白了什么道理?同桌之间相互交流.
(2)算一算验证“归纳法”:
①出示代数式n2-n+11,让学生分别计算当n=1,2,3,4,5时,代数式的值是多少,提问它们的值都是质数吗?
②追问学生:我们是不是可以由此得出结论,当n为任意自然数时,n2-n+11的值一定是质数呢?
③让学生再多取几个数代入代数式中,验证结论是否正确.
(不正确,比如当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数.)
④思考:由归纳得到的结论一定正确吗?
(3)再次验证“归纳法”.
如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.
(DE与BC平行,且等于BC长度的一半;引导学生尝试猜想:连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边,且是第三条边长度的一半;组织学生进行归纳并验证结论,发现这样的结论对所有的三角形都成立.)
小结:归纳得到的结论有的正确有的不正确.
3.交流与发现.
通过上述几类问题的分析,你有什么发现吗?
(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢?
(2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.
二、例题讲解
【例1】观察图1中的两条线段a与b,你认为哪条线段长些?
图1
分析:观察往往会产生错觉,得出的结论不一定正确,想要判断两条线段是否一样长,最科学、合理的方式是量一量,组织学生动手操作量一量.
【答案】两条线段一样长
【例2】图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用三角尺验证一下.
【答案】线段b与线段d在同一直线上
三、课堂小结
1.通过本节课的学习,我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确,从而明白证明的意义和必要性.
2.让学生反思自己在本节课学习中的优缺点、不足之处以及改进的方法,并能积极地参与与总结性的发言.
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