关于"准变量思维"的交流

关于"准变量思维"的交流

远山 发表于 2008-1-27 15:47:00

最近看一作者文中涉及“准变量思维”，觉得较有意思，在交流中也多次和作者交流了“准变量思维”，相信其过程对大家有些帮助。 现将部分交流内容整理如下：     1.涉及“准变量思维”的文章。 在算术思维中，运算式的作用是一种思考的记录，是直接联结题目与答案的桥梁；而在代数思维中，运算式的功用，不再只是直接联结问题与答案之间的过程记录，也充当一个问题转译的角色。介于小学算术程序思维与中学代数关系思维之间的是“准变量思维”，它的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，对算术及其问题进行“代数的思考”。准变量思维作为算术程序思维的“最近发展区”，为学生的数学思维从算术思维发展到代数思维起到桥梁和纽带的作用。因此，教学中要为学生提供“准变量思维”的素材，将数学知识进行有机的拓展和延伸，从而实现两者之间的有效衔接。 例如：在学习“圆柱体表面积的计算”一课时，教师引导学生探究圆柱体表面积，概括出圆柱体表面积计算公式：表面积=侧面积+两个底面积的“三步计算法”。这时有的学生认为这种计算方法比较烦琐。“有没有更巧妙的方法？”难道底面、侧面展开是“圆”与“长方形”就一定要依次计算吗？围绕这个问题，教师组织如下的教学活动： 师：前面我们学习了“圆柱体表面积的计算”，我们一般是怎样计算它的表面积呢？ 生：我们推导出圆柱体表面积的“三步计算”方法，即依次计算底面积、侧面积，用侧面积加两个底面积得出表面积。 师：比如这样一题：一个圆柱体的高是15厘米，底面半径是5厘米，它的表面积是多少？ 学：侧面积：2×3.14×5×15=471(平方厘米) 底面积：3.14×25=78.5（平方厘米） 表面积：471+78.5×2=628（平方厘米） 逻辑推导新公式 师：如果我们把刚才的分步列式写成综合算式，你会吗？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2 师：怎样计算简便呢？运用乘法分配律，你该怎样化简呢？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2    =2×3.14×5×（15+5）    =31.4×20    =628（平方厘米） 师：你发现圆柱体表面积的巧妙算法是什么呢？ 生：圆柱表面积=底面周长×（高+半径） 再让学生操作验证，应用拓展。 教师利用学生提出的问题，引导学生积极探究，得出圆柱体表面积=底面周长×（高+半径）。其思考过程就是以“准变量思维”为中介，运用代数思维的思考方法，通过关系的符号化及其运算，并对运算结构性的、一般性的、形式化的转换，发现了圆柱体表面积的巧妙解法，从而使学生代数思维的训练落到实处。   远山：可能还要麻烦您辛苦一下。我琢磨了很久，但是还没有体会到您的“准变量思维”是什么，另外从案例本身似乎也看不出变量思维，可否明示？还有一点，这个案例“有没有更巧妙的方法”以及认为得出的方法更巧妙等恐怕也经不起推敲。一则教师引导学生得出的方法充其量是“另解”而非“巧解“。二则教师苦费周折引导学生得出的方法其普适性和灵活性都不及开始的方法。请您再琢磨一下，尽快发给我。 作者：文章已经修改。 1. 什么是准变量思维？我付上一篇文章，您看看。 2. 关于案例。我是根据发表在教育时报上的一个案例“巧用学生提问开发课程资源”写成的。结合自己学习的有关准变量思维对案例进行解读。 3.案例来源：http://www./jiaoyushibao/kegaidaokan/ketang/143246.shtml。 昨晚对您提出的另解与巧解的看法进行了思考。我是这样想的：这个案例的意义就在于教师在教学中要善于利用学生提出的问题资源或者课堂生成的资源，通过准变量思维，降低学生学习代数的门槛。因为准变量思维是算术思维与代数思维间的中介，教师在自己的教学中也要“代数的眼睛和耳朵”和适时渗透代数思维的意识。在这个案例中新解的提出是基于三步计算的基础上，运用准变量思维进行变式，得出的新公式，所以绝对不是另解。其二它的巧或者更准确地说是更简便体现在比减少了计算的步聚，得出了一个新公式圆柱表面积=底面周长×（高+半径）。这是基于原来计算基础上得到的新公式所以它同样具有普适性。这个案例引发教师们对准变量思维的认识和思考。 远山：看了您的留言，文章还没时间细看。但从您的留言看，恐怕改过来的效果不太理想。现回复几点，其他的等看了文章再具体细说：1.你还是没有解释清楚“准变量思维”。虽然您多次提到体现了“准变量思维”，但具体是准变量思维您指的是什么、如何体现的，尚不明确，至少从文章中没看出实质性的东西。2. “其二它的巧或者更准确地说是更简便体现在比减少了计算的步聚，得出了一个新公式圆柱表面积=底面周长×（高+半径）。”什么是简算？是不是指写的式子比较短？还是体现在思维层面上或计算层面上？3.圆柱表面积=底面周长×（高+半径）很难说是“两步”。求底面周长是不是一步？半径加高是不是一步？底面乘“和”是不是一步？一共几步？4.您能说服自己并使自己相信，求底面积是“一步”，求底面周长就不是“一步”？底面加侧面积是“一步”，半径加高就不是“一步”，或者周长乘“和”就不是“一步”吗？如果说服不了自己，则您的两步、三步之“巧”，恐怕很难另人信服。5.关于您的“准变量思维”实质是什么？是“算术思维与代数思维间的中介”的，这样的说法恐怕很难是“实质”。其实，我们引进新的名词时一定要有自己的理解和通俗的表达。到目前不知您的“准变量思维”是什么。但从您的“中介”二字，我觉得应该是这样理解的。算术思维是就具体的数进行计算，代数思维是量的计算，是关于关系结构或者模式的处理。准变量思维就是把“数”当“式”计算，就是不先不考虑具体的“结果”，而提取或变换关系，结构。[“得出的新公式，所以绝对不是另解”，这话很费解。为什么新的公式就不是另解？“另解”在作者看来是怎样的？] 作者：同意以上看法。关于几步之说在文章里并没有这方面的叙述。关于几步之说显然我数错了。 远山：其实，我觉得您可以到教学中去实验一下，按文章中苦心得出来的方法，似乎并不会给学生带来多少“实惠”，采用那种方法的学生比较少。或者可以说那种方法只有在某些情况下才比普通的方法更实用，而多数时候并不如原来被“加工”的那种方法，如此则教师苦心何来？ 作者：这个案例我是在教育时报上看到的。网络上流传较广。没在实践中检验。 插作者的修改稿： 准变量思维是介于算术思维和代数思维之间的一种数学思维形式，它的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，对算术及其问题进行“代数的思考”。准变量思维是从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带。因此，教师要敏锐地发掘可以培养学生准变量思维的素材，将数学知识进行有机的拓展和延伸，从而实现两者之间的有效衔接。 例如：在学习《圆柱体表面积的计算》时，教师引导学生探究圆柱体表面积，概括出圆柱体表面积 “三步计算法” （表面积=侧面积+两个底面积的）。这时有的学生认为这种计算方法比较烦琐。“有没有更巧妙的方法？”难道底面、侧面展开是“圆”与“长方形”就一定要依次计算吗？围绕这个问题，教师组织如下的教学活动： 师：前面我们学习了圆柱体表面积的计算，我们一般是怎样计算它的表面积呢？ 生：我们推导出圆柱体表面积的“三步计算”方法，即依次计算底面积、侧面积，再用侧面积加两个底面积得出表面积。 师：一个圆柱体的高是15厘米，底面半径是5厘米，它的表面积是多少？ 生：侧面积=2×3.14×5×15=471(平方厘米)，底面积=3.14×25=78.5（平方厘米），表面积=471+78.5×2=628（平方厘米） 师：如果我们把刚才的分步列式写成综合算式，你会吗？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2 师：怎样计算简便呢？运用乘法分配律，你该怎样化简呢？ 生：2×3.14×5×15+3.14×25×2    =2×3.14×5×（15+5）    =31.4×20    =628（平方厘米） 师：你发现圆柱体表面积的巧妙算法是什么呢？ 生：圆柱表面积=底面周长×（高+半径） 再让学生操作验证，应用拓展。 教师利用学生提出的问题，引导学生积极探究，得出圆柱体表面积=底面周长×（高+半径）。其思考过程就是运用“准变量思维”，运用代数思维的思考方法，（这句话去掉）通过关系的符号化及其运算，并对运算结构性的、一般性的、形式化的转换，发现了圆柱体表面积的巧妙解法，从而提升学生对算术基础的理解，蕴伏对算术和代数之间关系的认识，培养学生的代数思维。从而使学生代数思维的训练落到实处。（这句话去掉） 远山：您再思考一下第三点怎么加工吧。一、是如何体现“准变量思维”，二、用什么案例。 作者再次修改： 介于小学算术程序思维与中学代数关系思维之间的是“准变量思维”，它的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，对算术及其问题进行“代数的思考”。准变量思维是从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带。因此，教师要敏锐地发掘可以培养学生准变量思维的素材，将数学知识进行有机的拓展和延伸，从而实现两者之间有效的衔接。 例如：在学习“圆柱体积的计算”一课时，教师出示这样一道练习题： “一张长方形纸，长是18.84厘米，宽是12.56厘米，怎样围圆柱的体积最大？”刚一出示这道题，同学们议论纷纷。大部分同学认为一样大，因为它们是同一张长方形纸围成的；也有几个同学在低头认真演算。这时石蕊同学站起来说：“通过演算，我发现以长方形长作为底面周长，以宽作为高时，圆柱的体积是： 18.84÷3.14÷2=3（厘米） 3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米） 以宽为底面周长，长做高时，圆柱的体积是： 12.56÷3.14÷2=2（厘米） 3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米） 所以，虽然用的是同一张纸围成的圆柱，但通过计算，还是以较长的边为底面周长时围成的圆柱的体积大。” 听完石蕊同学的发言，张凌云同学说：“我还发现一个规律：如果用同一张长方形纸围圆柱，那么以长为底面周长，以宽为高的圆柱的体积与以宽为底面周长，以长为高的圆柱的体积的比等于长与宽的比。”这个结论是正确的吗？同学们听了半信半疑，“你能给大家举个例子吗？”老师提出了要求。张凌云同学进行举例： 长方形的长是20厘米，宽是10厘米，用它围成一个圆柱，以长为底面周长，以宽为高时，圆柱的体积是： ∏×（20÷2∏）2×10=∏×20×20×10/4×∏×∏=1000/∏(立方厘米) 以宽为底面周长，以长为高时，圆柱的体积是： ∏×（10÷2∏）2×20=∏×10×10×20/4×∏×∏=500/∏(立方厘米) 两个圆柱体积的比是2：1 其他同学也跃跃欲试，举例验证这一发现。 学生在推算过程中把“3.14”这一常量以符号∏替代，运用准变量思维，通过关系的符号化及其运算，并对运算结构性的、一般性的、形式化的转换，发现了圆柱体积比的规律。教师抓住了这个闪光点，通过对一道习题的延伸拓展，蕴伏对算术和代数之间关系的认识，促进学生代数思维的发展。   远山：稿件收到，看了一下。文章基本上采用的是还是算术思维（唯一不同的是引进了圆周率的字母），虽然您多次提到关注关系和结构，但是由于您所举的例子在过程中过多的关注计算结果，使得各个量之间的关系和结构并不明确。 “准变量”思维的案例具备说明这个问题的可能性，但从目前的行文没有突出问题。当然您也告诉我了这是某杂志上的案例。看了您提供的“准变量思维”材料，更坚定了我改您文章的决心。文章大致思路已修改，因为基本上是颠覆了您的思路，所以还是发给您看看吧。文中计算尚未更改过来，文字衔接等尚未细致加工，请您自己处理一下. 修改后的文章： 如在教学《圆柱体积的计算》时，某教师出示这样一道练习题：“一张长方形纸，长是20厘米，宽是10厘米，怎样围圆柱的体积最大？”学生一般习惯通过计算，得出：以长方形的长为圆柱的底面周长、以宽为高时，圆柱的底面半径为18.84÷3.14÷2=3（厘米），体积为3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米）。以宽为圆柱的底面周长、长为高时，圆柱的底面半径为12.56÷3.14÷2=2（厘米），体积为3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米）。因为354.9456>236.6304，所以以长方形的长为底面周长、以宽为高时围城的圆柱的体积最大。学生这样做，是基于算术思想的，只能说明对这组长和宽是成立，对其他的长和宽是否也成立仍不得而知。而按严密的代数思维应该是这样的：设长方形的长和宽分别为a、b（a≥b）厘米,则以a为圆柱的底面周长、以b高时，圆柱的底面半径为a÷π÷2=a/2π（厘米），体积为π×(a/2π)2×b =4 a2b/4π（立方厘米）;以b为底面周长、a为高时，圆柱的底面半径为b÷π÷2=b/2π（厘米），体积为π×(b/2π)2×a =4 b2a/4π（立方厘米）。因为a>b,所以4 b2a/4π>4 b2a/4π，即以长方形的长为底面周长、以宽为高时围城的圆柱的体积最大。这是代数思维，显然超出了小学生的思维水平。在教学中，我们可以建议学生先不急着算，而进行以下尝试：以20厘米为底面周长，以10厘米为高时，圆柱的底面半径是20÷2π，体积是π×（20÷2π）×（20÷2π）×10=20×20×10÷4π(立方厘米)；以10厘米为底面周长，以20厘米为高时，圆柱的底面半径是10÷2π，体积是π×（10÷2π）×（10÷2π）×20=10×10×20÷4π(立方厘米)。比较两个结果，得出20×20×10÷4π>10×10×20÷4π。这样的过程立足于具体的数值，但“计算”过程中关注的不是每一步的计算结果，而是关系和结果，通过对关系的变换，得出具有结构性的、一般性的、形式化的结果，这就是准变量思维。 作者：实在很不好意思，因为自己文章的不成熟，花费了你太多的时间和精力进行修改。感动！感谢！两个问题：1.如果把题目改为长20，宽10时计算除不尽。所以改为原题长是18.84厘米，宽是12.56厘米。2. 20×20×10÷4π通过计算化简结果是1000÷π  10×10×20÷4π通过计算化简结果是500÷π。这样是不是更容易比较出结果？ 远山：这下我真该晕了——晕的是我们理解的准变量思维好像有天地之别。 关于“20×20×10÷4π通过计算化简结果是1000÷π，10×10×20÷4π通过计算化简结果是500÷π。这样是不是更容易比较出结果”的回答。 1.您认为354.9456（立方厘米）>236.6304（立方厘米）与1000/π >500/π有多少区别？仅仅把3.14改成π就叫准代数思想了？ 2.您认为这个问题中最本质的关系或结构是什么？是“部分计算”结果与圆周率的关系？还是长、宽与体积的关系？如此哪种结果能体现您所认为的关系？ 3.准变量思维的渗透是以“更容易比较出结果”为主还是别的？如果是以更容易比出结果则学生的普通解法最容易比较出结果。 4.虽然您一直提出“代数的眼光和思维”，从1000/π、500/π中您能看出多少关系或结构？ 关于“1.如果把题目改为长20，宽10时计算除不尽。所以改为原题长是18.84厘米，宽是12.56厘米”回答：如果题目容易“除尽”则保留结构的必要性在哪里？教学中，教师可以根据“除不尽”，如果保留两位小数，则计算比较复杂，引入“只列式、不计算”。

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No.5　讨论:关于"准变量思维"的交流 景色怡人(游客)发表评论于2008-2-5 22:56:00 看得似懂非懂的,但总感觉它是算术思维与代数思维的桥梁吧. 但我也觉得这个准变量思维很有用.可以提高学生举一反三的能力. 个人主页 | 引用 | 返回 | 删除 | 回复

No.4　讨论:关于"准变量思维"的交流 远山(游客)发表评论于2008-1-28 16:35:00 今天又加工了一下. 如在教学《圆柱体积的计算》时，某教师出示这样一道练习题：“一张长方形纸，长20厘米，宽10厘米，怎样围圆柱的体积最大？”学生一般习惯通过计算，得出：以长方形的长为圆柱的底面周长、以宽为高时，圆柱的底面半径为20÷3.14÷2≈3.19（厘米），体积为3.14×3.19×3.19×10≈319.5295（立方厘米）；以宽为圆柱的底面周长、长为高时，圆柱的底面半径为10÷3.14÷2≈1.59（厘米），体积为3.14×1.59×1.59×20≈158.7647（立方厘米）。因为319.5295>158.7647，所以以长方形的长为底面周长、以宽为高时围成的圆柱体积最大。学生基于算术思维，通过计算结果进行判断，计算比较繁琐，并且这个结论只能说明对这组长和宽是成立，对其他的长和宽是否也成立仍不得而知。按严密的代数思维可以这样推理：设长方形的长和宽分别为a、b（a≥b）厘米,则以a为圆柱的底面周长、以b为高时，圆柱的底面半径为a÷π÷2=a/2π（厘米），体积为π×(a/2π)2×b =4 a2b/4π（立方厘米）；以b为底面周长、a为高时，圆柱的底面半径为b÷π÷2=b/2π（厘米），体积为π×(b/2π)2×a =4 b2a/4π（立方厘米）。因为a>b,所以4 a2b /4π>4 b2a/4π，即以长方形的长为底面周长、以宽为高时围成的圆柱的体积最大。运用代数思维进行证明，严密，但显然超出了小学生的现有思维水平。在教学中，教师可以引导学生根据具体的数列式，但先不急着计算，进行如下推算：以20厘米为底面周长，以10厘米为高时，圆柱的底面半径是20÷2π，体积是π×（20÷2π）×（20÷2π）×10=20×20×10÷4π(立方厘米)；以10厘米为底面周长、以20厘米为高时，圆柱的底面半径是10÷2π，体积是π×（10÷2π）×（10÷2π）×20=10×10×20÷4π(立方厘米)。接着，教师引导学生观察这长、宽与最后结果之间的关系，比较这两个结果的区别，得出：以长（或宽）为底面周长时，体积就是长（或宽）×长×宽÷4π，因为长≥宽，所以以长方形的长为底面周长、以宽为高时围成的圆柱体积最大。这样的过程立足于具体的数值，但“计算”过程中关注的不是每一步的计算结果，而是关系和结构，得出的是具有结构性的、一般性的、形式化的结果，蕴伏了算术和代数之间的关系，能促进学生代数思维的发展。 个人主页 | 引用 | 返回 | 删除 | 回复

No.3　讨论:关于"准变量思维"的交流 远山(游客)发表评论于2008-1-28 16:04:00 数学教学中的准变量思维及其培养 【小学数学教师】作者:徐文彬   摘　要　小学数学的核心是算术和程序思维；准变量思维是学生数学思维从算术程序思维发展到代数关系思维的桥梁。算术与代数之间的割裂既有传统的原因又有现实的根源，突破这种“人为”的割裂正是在小学数学教学中培养学生准变量思维的首要任务。为充分理解并运用小学数学中的准变量及其思维来开展教学，教师首先应该习惯使用“代数的眼睛和耳朵”，其次要有意识地防止两种错误倾向——把算术思维与准变量思维对立起来，用准变量思维代替算术思维；拔高小学数学教学的思维目标，用代数思维来取代准变量思维。 关键词　小学数学；准变量思维；算术思维；代数思维 在义务教育阶段，数学教育是一个不可分割的整体，旨在培养和提高学生的数学素质而非数学（专业）才能。但是，一方面，小学数学在内容上主要是算术，而且在数学思维方式上倾向于程序思维；另一方面，初中数学的主要内容之一是代数，而且在数学思维方式上更倾向于关系思维。因此，如何在教学层面上保证义务教育阶段数学教育的整体性和学生数学素质的培养与提高，是我们必须面对和不可回避的一个现实问题。这也正是本文探讨算术和代数，尤其是算术思维和代数思维之间关系的意义所在。 一、什么是准变量思维 算术思维的对象主要是数字（属于常量）及其计算与拆合，而代数思维的对象则主要是代数式（属于变量）及其运算与变换；算术思维侧重于程序思维（procedural thinking），即，算术程序思维的核心是获取一个（正确的）答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法，而代数思维就其本质而言是关系思维（relational thinking），即，代数关系思维的要点是发现（一般化的）关系和结构，以及明确这些关系与结构之间的关系。那么，什么是准变量思维呢？准变量思维的对象主要是准变量（表达式）（quasi-variable(expressions)）及其代数关系与结构的非符号陈述；准变量思维的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，以对算术及其问题进行“代数地思考”。比如，78-49+49=78，67-72+72=67，等等，就隐含着一个代数关系和结构：a-b+b=a。不过，这里要请读者注意：就第一个等式而言，如果学生仅仅局限于78和49这两个具体的数字，并通过计算来发现等式的正确性，那么这种思考方式是属于算术程序思维的；但是，如果学生不仅仅局限于这两个具体的数字78和49，而着眼于等式所隐含的代数关系和结构(“减去一个数再加上这个数，结果不变”)，那么尽管我们的思考对象是算术的，但思维却是代数的，即准变量思维。与此同时，就第二个等式而言，如果我们仅仅局限于算术程序思维，那么我们就无法向小学生解释其正确性，因为小学生一般是没有负数概念的，也就是说，只有运用准变量进行准变量思维，我们才能在算术中解释其正确性。另一方面，我们一般是不可能向小学生传授“a-b+b=a”这一类代数关系和结构的，因此，当我们运用准变量这一概念来进行数学思维时就意味着：在算术中，一个或一组数字语句，它（们）蕴涵着一个潜在的数学关系；而且，在这种数学关系中，不论它所包含的数字是什么，这（些）语句都是真的。 由此可见，准变量既不是常量也不是变量，而是介于两者之间，即，它是数字语句中数字的关系和结构解释，或数字语句中数字的代数意义；而准变量思维则是介于算术思维和代数思维之间的一种数学思维形式，它是学生数学思维从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带。 二、为什么要培养学生的准变量思维 造成算术和代数这两个数学领域，及其相应的算术（程序）思维和代数（关系）思维在学校教育中长期割裂，既有其历史和传统的原因，也有其认识和现实的根源。 首先是历史和传统的原因。算术和代数有着不同的发历史，而且它们是各自带着不同的符号体系先后走进现今的学校（数学）课程的；同时，它们在思维方式上也存在着不同，即一个是程序思维，而另一个则是关系思维。正因为如此，在教育发展史上，人们一般都认为，算术和代数在学校教育中扮演着不同的角色和作用。即，算术被传统地视为“义务教育”（这里的义务教主要是指小学教育）必不可少的一个有机构成（也即“读、写、算”中的“算”），是每一个国家公民所必须备的基本素质之一；而代数则被视为是那些进入“中学”（主要是指非“义务教育”）的学生才要学习的一个合适的数学内容，甚至代数还被视为仅仅是那些具有抽象思维能力的中学生才能学习的数学内容。 其次是认识和现实的根源。在上述历史背景之下和教育传统之中，尽管义务教育的年限已经发展到九年甚至更长，但是，由于历史的惯性和传统的惰性，人们的认识（从总体来上说）还没有跟上时代的发展。即，仍然认为，小学（尤其是低年级的）数学教学的要点是记数和读数法，根本不能培养学生的“代数思维”。于是，这就造成了如下的现实：一方面，初始的代数教学既要向学生介绍基于一般数学关系之上的数量关系，又要关注他们是如何理解和解释代数表达式，以及“计算”基于相等关系基础之上的代数式（即恒等变形）；而另一方面，小学数学教学却没有，因而也不能提供从算术（程序思维）到代数（关系思维）的过渡或桥梁。因此，下面这两种现象似乎已被数学教育界视作是正常和必要的了：初学代数的学生一般都需要较长时间才能进入代数思维状态，在此之前，他们总是试图用算术程序思维来解决“代数问题”；小学数学教学及其研究和中学数学教学及其研究是两个互不相干的领域，在这两个领域里辛勤耕耘的人们很少往来，鲜有共同话语。 那么，是不是算术和代数，以及算术思维和代数思维等之间的割裂就是不可避免或难以弥补的呢？显然不是。因为根据上面的论述我们应该知道，这种割裂具有很强的人为性，而且它还为学生学习代数及其思维制造了不必要的麻烦和障碍。所以，通过提高我们的认识，改变我们旧有的观念，并加强算术（思维）和代数（思维）之间一致性和相关性的研究，我们是可以避免这种人为的割裂和拆除这种不合理的障碍的。 准变量及其思维正是沟通算术和代数，以及算术思维和代数思维之间的桥梁和纽带。它既可以为算术及其思维过渡到代数及其思维提供桥梁和中介，也值得我们数学教育界同仁为之付出心血而深入开展实验和研究。如此看来，为了培养和提高学生的数学素质，在小学数学教学中培养学生的准变量思维，就非常需要我们一试身手。 三、怎样培养学生的准变量思维 在小学数学中开展准变量思维的教学，一是小学数学教师自身要习惯使用“代数的眼睛和耳朵”，即“代数地思考”算术及其问题；二是在开展准变量思维教学时，教师应有意识防止两种错误倾向：用准变量思维代替算术思维；用代数思维来取代准变量思维。 首先，教师要习惯用自己的“代数眼睛和代数耳朵”，敏锐发掘可以培养学生准变量思维的素材。在观念层面，我们应该明确认识到：在小学数学教学中培养学生的准变维，并不是小学数学教学的额外内容和目标，而是小学算术的应有之义；也不会增加教师的工作任务，因为教师们一般并不缺少“代数的眼睛和耳朵”，只是不习惯于用“代数的眼睛和耳朵”来思考算术及其问题；更不会增加学生的课业负担，因为一旦学会运用准变量思维来思考算及其问题，学生们不仅会更好地理解算术的基础，而且还会降低他们学习代数的门槛。在日常课堂教学中，我们应把培养学生的准变量思维贯穿于教学的各个环节或方面：在教学的准备工作中，要充分挖掘算术中的准变量素材（比如，等号的关系性质，算术任务及其表达式在其未完成的形式中也还保留着代数的韵味，等等），做好教学设计；在课堂教学当中，要明确培养学生准变量思维的具体要求和目标，努力提高小学数学有效教学的层次与水平；在数学学习成绩评价方面，也应给予准变量思维以一定的“空间”，以确保准变量思维培养的落实；在课外辅导、各种竞赛训练和（数学）综合实践探索活动中，更要有意识地培养学生准变量思维，以提升他们对算术基础的理解，蕴伏对算术和代数之间关系的认识。所有这一切都非常有利于学生数学素质的培养与提高，也有助于教师自身数学素养的升华和教学水平的提升。 其次，教师在数学教学中应该有意识地防止两种错误倾向的出现。由于算术中的准变量及其思维对我们的小学教师而言，理解起来并不很困难；而且，由于在各级各类小学奥数当中，隐含着为数众多的准变量及其表达式（比如，速算和巧算中大量的准变量表达式“99997×99997=99997×99997-3×3+3×3=（99997-3）（99997+3）+3×3”，奇偶分析中的“奇数≠偶数”，容斥原理，抽屉原理和同余关系，等等），所以，如果我们只是简单地把像奥数中的这些准变量（表达式）接搬进日常课堂教学中来的话，那么，就有可能损害学生对基本的算术计算程序的掌握与运用。这样，就会造成把算术思维与准变量思维对立起来，而用准变量思维代替算术思维的错误倾向。总体上来看，这种“对立与代替”不利于学生数学素质的培养与提高。因此，为防止这种错误倾向的出现，我们应该在小学数学教学中，把数的常量特性和准变量特性以及算术思维和准变量思维有机地结合起来，以培养与提高学生的数学素质。也就是说，虽然我们在小学数学教学中提倡培养学生的准变量思维，但这并不排斥数概念、数计算以及数计算程序等的获得。 一方面，由于在算术中利用准变量表达式来培养学生的代数思维（即“代数地思考”算术及其问题）时，常量“数”充当着变量，而代数式及其关系则以算术式子和准变量表达式的形式出现（比如，在计算器上的“键8”失灵的情况下计算“828-386=？”：828-386=717-275或828-386=939-497等。其中，“828-386=717-275”就是一个准变量表达式，而这个表达式中的数就是“变量”，因为它对应着一个代数关系式“a-b=(a-c)-(b-c)”)，这些都没有变量“字母”和代数式及其关系等来得简洁和明了；另一方面，在小学二年级就已引入“字母表示数”：未知数和方程。因而，这两方面都有可能导致我们随意拔高小学数学教学的思维目标，用代数思维来取代准变量思维。这样做很有可能会造成适得其反和欲速则不达的结果。因此，虽然我们在小学数学教学中提倡培养学生的准变量思维，但无意要把代数及其思维作为小学数学教学的内容和目标。 个人主页 | 引用 | 返回 | 删除 | 回复

No.2　讨论:关于"准变量思维"的交流 cy(游客)发表评论于2008-1-28 15:56:00 加强延伸，促进准变量思维的发展   小学数学在内容上主要是算术，而在数学思维方式上倾向于程序思维；初中数学的主要内容之一是代数，而在数学思维方式上更倾向于关系思维。介于小学算术程序思维与中学代数关系思维之间的是“准变量思维”，它的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，以对算术及其问题进行“代数的思考”。准变量思维作为算术程序思维的“最近发展区”，为学生的数学思维从算术程序思维发展到代数关系思维起到桥梁和纽带的作用。因此，教学中应把握好算术程序思维与代数关系思维的联系与区别，注意用“代数的眼睛和耳朵”来思考算术和问题，为学生提供“准变量思维”的素材，将数学知识进行有机的拓展和延伸，以此激发学生的准变量思维，从而实现算术程序思维与代数关系思维之间的有效衔接。 比如，学生学过圆柱的侧面积和体积后，出示这样一组练习： 1、一个圆柱的侧面积是75.36平方厘米，底面半径是4厘米，它的体积是（ ）立方厘米。 2、一个圆柱的侧面积是100平方厘米，底面半径是4厘米，它的体积是（ ）立方厘米。 第一题，通过计算，学生很快得出了圆柱的体积： 75.36÷（2×3.14×4）=3（厘米） 3.14×42×3=150.72（立方厘米） 第二题，学生运用同样的计算程序，无法求出高的准确值，于是有学生提出能否取近似值来计算，得到老师的否定后，学生显得一筹莫展。这时，老师引导学生尝试着列综合算式看能否得出结果，于是，就有学生给出了这样的答案： 虽然，此题的解答还有着简便的算法，用侧面积除以2再乘底面半径，结果便拓手可得。但在学生的认知结构中，较为牢固和深刻的数学模型是V=Sh,而对其他圆柱体积公式，即便提过，未必能记得牢或自如地应用。何况，这道题孕伏了算术和代数之间的承接关系，计算过程中的算术式子里更是体现着代数的韵味。对于这样一个能培养准变量思维的锲机，教师怎能错过。 当然，经过此题的训练后，还可以为学生呈现这样一道题，检测一下学生的准变量思维能力。 长方形的长是20厘米，宽是10厘米，用它围成一个圆柱，那么以长为底面周长、宽为高的圆柱体积与宽为底面周长、长为高的圆柱体积的比是多少？ 有了上一题的启发，加上准变量思维的萌芽，不少学生会给出如下答案：   可见，学生一旦具有用准变量思维来思考算术及其问题的意识后，不仅能更好地理解算术的基础，而且还会降低他们学习代数的门槛，为今后关系思维的发展奠定良好的基础。 做好中小学数学教学的衔接，对小学教师提出了更高的要求，不仅要掌握知识的内在联系，从教材的整体入手通读教材，了解教材的编排意图，弄清每部分教材在整个教材体系中的地位和作用，用联系、发展的观点，分析处理教材。还要不断加强学习以提升自身的数学文化素养（哲学、数学、逻辑、心理和美学），提高数学教学的艺术和能力。在知识内容上善于挖掘和创设，在思想方法上相机渗透和延伸，注意发展学生的准变量思维和培养学生良好的学习习惯，让学生今天的数学学习不仅是学习旅途中的一个驿站，更是指导学生中学甚至是终身学习的一盏领航灯。   发表于<小学教学参考>2007.6 个人主页 | 引用 | 返回 | 删除 | 回复

No.1　讨论:关于"准变量思维"的交流 远山(游客)发表评论于2008-1-28 8:37:00 感觉这个选题既不会是假大空，又有实践简直.大家可以研究一下"准代数思维",再写写文章.