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3.5.1 多值依赖 1.实例 　　 ①关系模式R（COURSE，STUDENT，PRECOURSE）的属性分别表示课程、选修该课程的学生以及该课程的先修课。这个模式表达了两件事情：选修课程的学生，课程的先修课。 　　 ②COURSE值与STUDENT值、COURSE值与PRECOURSE值之间都是1:N联系，并且这两个1:N联系是独立的。也就是选修一门课程的学生，必须选修这门课程的所有先修课。 　　 ③模式的键是全部属性，因此R已是BCNF模式，但有很大的冗余。如果C4这门课程有100个学生选修，并且C4这门课程有4门直接的先修课，那么在表中将会有400个元组。 　　 ④如果把R分解成R1（COURSE，STUDENT）和R2（COURSE，PRECOURSE），就能消除冗余。 　　 ⑤非形式地说，只要两个独立的1:N联系出现在一个关系中，那么就可能出现多值依赖。 2.多值依赖的形式定义 　　(1)设U是关系模式R的属性集，X和Y是U的子集，Z=R―X―Y，小写的xyz表示属性集XYZ的值。对于R的关系r，在r中存在元组（x，y1，z1）和（x，y2，z2）时，就也存在元组（x，y2，z1）和（x，y1，z2），那么称多值依赖（multivalued dependency，简记为MVD）X→→Y在模式R上成立。 　　(2)可看出，每个X值对应一组Y值，但与Z值无关，则X→→Y成立。 　　(3)另外还可看出，这个定义具有对称性，即R中只要有X→→Y，R中也就有X→→Z。 　　(4)即X→→Y和X→→Z同时成立，故有时写成X→→Y│Z。 3.5.2 第四范式（4NF） 1.4NF的定义 设D是关系模式R上成立的FD和MVD集合。如果D中每个非平凡的MVD X→→Y的左部X都是R的超键，那么称R是4NF的模式。 2.实例 (1)模式R（COURSE，STUDENT，PRECOURSE）中，键是（COURSE，STUDENT，PRECOURSE）。 (2)在MVD COURSE→→STUDENT和COURSE→→PRECOURSE的左部都未包含键，因此R不是4NF。 (3)若把R分解成R1（COURSE，STUDENT）和R2（COURSE，PRECOURSE）以后，则R1和R2都是4NF。 3.是4NF的模式肯定是BCNF模式。