【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（十）-小学数学网-学而思教育

 

50.探 索 法

　　就是多方寻求答案，解决疑难。

　　

 

　　

 

 

 

　　

 

51.观 察 法

　　数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。

例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。

　　(1)1＋1×8

　　(2)2＋12×8

　　(3)3＋123×8

　　(4)4＋1234×8

　　仔细观察算式间的联系，

　　第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111， 1111，……而乘数都是8，即第二个加数中两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次增加 89，889，8889，……

　　由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知

　　式(4)为 987＋8889＝9876。

例2 观察

　　

　　不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个

是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。

　　如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)

　　　

例3 由11＋1.1＝11×1.1，

　　　

　　知其积等于其和。

　　特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分子是1，分母比第一个加数少1。

例4 观察分析

　　

　　…………

　　会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。

　　此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？

　　用反证法证明：

　　若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。

　　则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。

　　若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。

　　同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。

52.猜测与证明

　　美国数学家G·玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以证明。”

例1 3×4＝12

　　它的积是由1和2依顺序排列的数。

　　由33×34＝1122

　　333×334＝111222

　　

　　n个 n个 n个 n个

　　为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再标n个了，它们的个数同上式一样。

　　证明：

　　令S＝11…1，

　　则S＝10^n－1＋10^n－2＋…＋10＋1，

　　10S＝10ⁿ＋10^n－1＋…＋10²＋10，

　　9S＝10S－S＝10ⁿ－1，

　　

　　由此得

　　

 

　　

 

　　　　　　　　

　　故33…3×33…4＝11…122…2，

　　进而可得33…3×33…5

　　＝33…3×(33…34＋1)

　　＝11…122…2＋33…3

　　＝11…155…5。

例2 abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？

　　智力好的学生，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。

　　如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。

　　这样的数组有：

　　1、2、3 1、2、6 1、2、9

　　1、3、5 1、3、8 1、4、7

　　1、5、6 1、5、9 1、6、8

　　1、8、9 2、3、4 2、3、7

　　2、4、6 2、4、9 2、5、8

　　2、6、7 2、7、9 3、4、5

　　3、8、4 3、5、7 3、6、9

　　4、5、9 4、6、8 5、6、7

　　5、7、9 6、7、8 7、8、9

　　符合题意的全部四位数是，

　　6×27＝162(个)

例3 证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。

　　在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。

　　设10个连续自然数为：

　　n、n＋1、n＋2、…、n＋9，

　　则(n＋8)－n＝8，

　　(n＋9)－(n＋2)＝7。

　　这里 a＝n＋8，

　　b＝n，

　　c＝n＋9，

　　d＝n＋2，

　　或 a＝n＋9，

　　b＝n＋2，

　　c＝n＋8，

　　d＝n。

　　或者(n＋9)－(n＋1)＝8，

　　(n＋7)－n＝7。

　　这里a＝n＋9，

　　b＝n＋1，

　　c=n＋7，d=n，

　　或 a=n＋7， b=n，

　　c=n＋9，d=n＋1。

例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。

　　证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……

　　当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以

　　

　　＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。

　　当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以

　　

　　＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。

　　当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以

　　

　　＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。

 

　　

　　＝［m₁＋(m＋k－1)_k］×n。

　　

　　这里m₁＝9，(m＋k－1)_k＝40，

　　

　　原式＝(9＋40)×8＝392。

53.相似运算

　　例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任选一个数字，把它与9相乘，得到一个积，把这个积再乘上12345679，答案所有数位上的数字总是和选择的那个数字一样。

　　比如说，选择5，5×9＝45。

　　

　　两边都除以5，

　　12345679×9=11 11 11 11 1。

　　对于任何其它数字，可进行同样的推理。用数字a乘等式两边，

　　12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a

　　＝aaaaaaaaa 。

　　例2 任意选出小于10的三个不同的自然数，如1、6、8。

　　从中任取两个，组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。

　　1＋6＋8＝15。

　　两位数的和除以一位数的和，

　　

 

　　

　　设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数，组成两位数，

　　10a＋b 10a＋c 10b＋a

　　10b＋c 10c＋a 10c＋b

　　其和为 22a＋22b＋22c

　　　＝22(a＋b＋c)

　　　

　　遇到类似的运算，可不假思索地写出22。