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世界著名的大科学家牛顿历来喜欢研究运动，他在运动和变化中考察问题．他著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题：12头牛4周吃
草的生长速度不变．问需要多少头牛才能在18周吃完24公顷的牧草．这类问题被人们称之为牛顿的“牛吃草”问题．下面我们共同讨论一下这类题的特点及解法． 例1 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？ 分析：这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随时间的增加而增加．但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天（或每周）新长的草量是不变的，因此必须先设法找出这两个量来．我们可以先画线段图（如图5—1）．
从上面图对比可以看出，18头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相当于4周新生长的草量．这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长的草量，就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量，或用18头牛吃10周的草量减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量．有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了． 解：设1头牛吃一周的草量的为一份． （1）24头牛吃6周的草量 24×6=144（份） （2）18头牛吃10周的草量 18×10=180（份） （3）（10-6）周新长的草量 180-144=36（份） （4）每周新长的草量 36÷（10-6）=9（份） （5）原有草量 24×6-9×6=90（份） 或18×10-9×10=90（份） （6）全部牧草吃完所用时间 不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有 90÷（19-9）=9（周） 答：供19头牛吃9周． 例2 20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？ 分析：同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可． 设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决． 解：（1）每公顷每天新长的草量 （20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54） =0.5（份） （2）每公顷原有草量 20×72÷32-0.5×72=9（份） 或16×54÷24-0.5×54=9（份） （3）40公顷原有草量 9×40=360（份） （4）40公顷36天新长的草量 0.5×36×40=720（份） （5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数 （360+720）÷36=30（匹） 答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草． 例3 有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人．已知快速车每小时54千米，中车速每小时39．6千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？ 分析 根据题意先画出线段图，如图5—2．
从图5—2可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程AB加上路程BE．AB表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程AC减去骑车人行3分钟的路程BC得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟的路程AD减去快车行3分钟的路程AC恰好为路程CD，路程CD是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度．BE表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了． 解：快车速度54千米／小时=900米／分钟 中速车速度39．6千米／小时=660米／分钟 （1）骑车人的速度 （660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分钟） （2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离 900×3-300×3=1800（米） （3）慢车8分钟行的路程 1800+300×8=4200（米） （4）慢车的车速 4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小时 答：慢车的车速为每小时31.5千米． |
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