| 2.2 完整系的拉格朗日方程 |
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用广义坐标表出的动力学方程称为拉格朗日方程，可以直接由牛顿第二定律导出。
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| （1）达朗贝尔方程 |
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| 设受约束的质点系中质点i所受的主动力和约束力分别为 |
| 和 ，位矢为 ，由牛顿第二定律有 |
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| 给质点i以虚位移 ，得 |
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| 对整个质点系 |
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| 在理想约束条件下，有 |
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（2.6） |
| 上式称为达朗贝尔（d′Alembert）方程，是理想约束体系动力学普遍方程。 |
| 思考：达朗贝尔方程的优点和不足之处是什么？ |
| （2）拉格朗日方程 |
| 消去达朗贝尔方程中的虚位移 ，并用广义坐标表出的体系的动力学方程即是拉格朗日方程。 |
| • 求虚位移 |
| 是位矢 的变分，运算规则是：算符δ作用在空间坐标 上时与微分算符d的运算规则一样，作用在时间t上则为零，即δt=0。 |
| 设体系由n个质点组成，受k个理想完整约束，其自由度为s=3n-k，即需要s个独立坐标即广义坐标，用 表示，则 |
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（2.7） |
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 （2.8） |
| 将（2.8）式代入（2.6）式： |
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| 因 是独立的，所以 |
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（2.9） |
| 第二项 |
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（2.10） |
为广义力
第一项 |
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（2.11） |
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（2.12） |
| 体系动能 |
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（2.13） |
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（2.14） |
| 将（2.13）式、（2.14）式代入（2.11）式： |
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（2.15） |
| 将（2.10）、（2.15）式代入（9）式，得 |
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（2.16） |
| 上式为理想完整系的拉格朗日方程。其中： |
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——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量（不包含约束反力） |
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——体系相对惯性系的动能 |
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——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量 |
| （3）保守体系的拉格朗日方程 |
| 如果主动力都是保守力，即 ，则为广义力 |
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| 将上式代入（2.16）式，得 |
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（2.17） |
| 上式为保守体系的拉格朗日方程，常用的一种拉格朗日方程。式中： |
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（2.18） |
| 为拉格朗日函数，是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。 |
| 想一想：（2.17）式的成立、适用条件是什么？ |
（4）对拉格朗日方程的评价
拉氏方程的特点（优点）：
• 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。
• 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。
• 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。
拉氏方程的价值
拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。 |
