模态推理

模态推理

　　模态推理是根据模态判断性质进行推演的推理，或者说，是根据模态判断间的关系而进行的推理，它的前提和结论是模态判断。例如：

　　任何事物都必然要发展变化，

　　所以，任何事物都不可能不发展变化。

　　这就是一个模态推理，它是根据模态判断中的“必然”、“可能”这两个模态概念的性质而推演的。

第七章　　模态逻辑

□ 学习目的和要求

　1 、了解模态逻辑概述。 2 、掌握模态命题及其推理。 3 、理解道义命题及其推理。

□ 考核目标

　考核知识点

●  模态逻辑概述 ●  模态命题及其推理●道义命题及其推理。

　考核要求

●  模态逻辑及其概述

　1 、了解模态与模态逻辑。 2 、了解模态的种类。 3 、理解模态命题及其特性。 4 、掌握模态命题形式。 5 、了解模态逻辑的范围。

●  模态命题及其推理

　1 、了解基本模态命题及其符号化。 2 、理解复合模态命题和重叠模态命题。 3 、掌握基本模态命题之间的对当关系。 4 、掌握基本模态命题推理。 5 、了解复合模态命题推理和重叠模态命题推理。 6 、掌握直言模态对当关系推理。 7 、理解模态命题的真值条件。 8 、掌握模态三段论。

●  道义命题及其推理。

　1 、了解道义模态逻辑与基本道义命题。 2 、了解复合道义命题及其符号化。 3 、理解基本道义命题推理。 4 、了解复合道义命题推理。 5 、了解道义命题的真值条件。

□ 重点与难点

　1 、模态命题及其推理。

　2 、道义命题及其推理。

第一节   模态逻辑概述

•一、模态和模态逻辑

•   模态逻辑的主要目的是基于“必然”、“可能”等模态词考虑推理的形式结构是否有效。

•   模态逻辑研究含有模态词的命题的逻辑性及其推理关系。

•   “模态”是英文modal的音译，源于拉丁词modalis，具有形态、样式等意思。具体来说，模态是指客观事物或人们认识的存在和发展的样式、情状、趋势等。

•   模态在人们思维中的反映，表现为一定的认识或观念，这就是模态概念。对于不同的模态会有不同的模态概念。 语言中用来表达模态或模态概念的语词或符号称为模态词。如汉语中的“必然”、“可能”，英语中的necessity，possibility,符号“□”、“◊”等。

•   由简单模态词叠置而成的模态词又称叠置模态词，相应的模态称为叠置模态，相应的模态概念称为叠置模态概念。

二、模态的种类

    1、客观模态和主观模态

    2、逻辑模态和非 逻辑模态

•   逻辑模态是指逻辑上的必然性和可能性。

•   逻辑上的必然性是指，否定一个具有必然性的命题，必然会引起逻辑上的矛盾。

•   逻辑上的可能性是指逻辑上的不矛盾性，一切逻辑上不矛盾的东西都是可能的。

•   非逻辑模态是指逻辑模态之外的模态，包括物理的模态、生物的模态、哲学的模态等。

•   3、狭义模态和广义模态

•   狭义模态是关于必然性和可能性等这类性质的模态，又称真性模态（Alethic  Modality），是关于真的性质的模态。通常所说的模态逻辑是关于狭义模态的模态逻辑。

•   广义模态是关于应该、允许、禁止等的道义模态，关于知道、相信等的认知模态，相应地有道义逻辑、认知逻辑等。

  总的来说，模态首先可以分为广义模态和狭义模态。广义模态包括道义模态、认知模态、时间模态等。狭义模态包括客观模态和主观模态。客观模态又分为逻辑的模态和非逻辑的模态。

•三、模态命题及其特性

•   命题是对事物情况的断定，如果这个断定中还含有模态的内容，那么就是模态命题，否则就是非模态命题。

•   从语言形式来看，模态命题都含有模态词。

•   从内容上来看，模态命题反映了客观事物和人们认识的必然性、可能性、确定性和不确定性等。

•   含有模态词的命题的真值并不由其中的非模态命题的真值所完全决定。模态词的这一性质叫作非真值函项性，或者叫作内涵性。

•四、模态命题形式

•   一般地，对于任意命题，如果我们考虑到模态，并在有这部分内容时给出相应的形式表达，那么所得到的命题形式就是命题的模态形式。通过这一规定，由模态命题得到的命题形式也可以看作是命题的模态形式，即空模态形式。所以，模态命题形式在本质上是指命题的模态形式。

•五、模态逻辑的范围

•   模态有广义和狭义之分，模态逻辑相应地也有广义和狭义之别。

•   狭义模态逻辑也叫真性模态逻辑，是关于必然性和可能性的逻辑，或者说，是关于含有模态词“必然”、“可能”的命题及其推理的逻辑科学。通常所说的模态逻辑就是狭义模态逻辑。广义模态逻辑是关于各种广义模态词的逻辑，具体来说包括道义逻辑、认知逻辑、时态逻辑等。

第二节 模态命题及其推理

•一、基本模态命题及其符号化

•  基本模态命题有四种，即必然肯定命题、必然否定命题、可能肯定命题、可能否定命题。

•  1、必然肯定命题

•  必然肯定命题是断定事物情况必然存在的命题。

•  其逻辑形式是：必然P。“必然”可以用符号“□”来表示。所以必然肯定命题的逻辑形式可以进一步写为：□p。

•  2、必然否定命题

•  必然否定命题是断定事物情况必然不存在的命题。 其逻辑形式是：必然非P。也可以写为：□¬P。

•  3、可能肯定命题

  可能肯定命题是断定事物情况可能存在的命题。 其逻辑形式是：可能P。“可能”可以用符号“◊”来表示。所以可能肯定命题的逻辑形式可以进一步写为：◊P。

•  4、可能否定命题

•  可能否定命题是断定事物情况可能不存在的命题。

•  其逻辑形式是：可能非P。也可以进一步写为：◊¬P。

•二、复合模态命题和叠置模态命题

•  模态词还可以加在一个复合命题之上，而且模态命题本身也可以用命题联结词联结起来，就构成了复合模态命题。

•  叠置模态命题是指对一个含有模态词的命题再加上模态词。

•三、基本模态 命题之间的对当关系

•   具有相同素材即具有相同命题变项的四种基本模态命题□P、□¬P、◊P、◊¬P之间存在着必然的制约关系，即基本模态命题之间的真假对当关系。它包括矛盾关系、反对关系、下反对关系和从属关系。这些关系可以用一个正方图形来表示，这个正方图形叫作模态方阵。

•   矛盾关系存在于□P和◊¬P、□¬P和◊P之间。具有矛盾关系的命题之间不能同真，也不能同假，即当一个命题真时另一个命题假，当一个命题假时另一个命题真。

•   反对关系存在于□P和□¬P之间。二者不能同真，可以同假，即当一个命题真时另一个必假，当一个假时另一个真假不能确定。

•    下反对关系存在于◊P和◊¬P之间。二者不能同假，可以同真，即当一个命题假时另一个必真，当一个命题真时另一个真假不能确定。

•   从属关系存在于□P和◊P、□¬P和◊¬P之间。具有从属关系的模态命题可以同真可以同假，即当必然命题真时可能命题一定真，当可能命题真时必然命题真假不能确定；当可能命题假时必然命题一定假，当必然命题假时可能命题不能确定真假。

  如果再将实然命题考虑进来，模态方阵可拓展为六角阵图。

•四、基本模态命题推理

•   从模态方阵和模态六角阵图出发，可以得到一系列直观上成立的模态命题推理形式。

•第一，根据矛盾关系，可以得到下列等值式：

•      （1）□P↔¬◊¬P

•      （2）□¬P↔¬◊P

•      （3）◊P↔¬□¬P

•      （4）◊¬P↔¬□P

•第二，根据从属关系，可以得到下列推理形式：

•      （5）□→◊P

•      （6）□P→P

•      （7）P→◊P

•      （8）□¬P→◊¬P

•      （9）□¬P→¬P

•      （10）¬P→◊¬P

•      （11）¬◊P→¬□P

•      （12）¬◊¬P→¬□¬P

•第三，根据反对关系，可以得到以下推理形式：

•          （13）□P→¬□¬P

•          （14）□¬P→¬□P

•第四，根据下反对关系，可以得到以下推理形式：

•          （15）¬◊P→◊¬P

•          （16）¬◊¬P→◊P

•   在上述16个推理形式中，（1）、（3）、（5）、（6）、（7）可以看成是最基本的模态推理公式。这些公式都被作为现代模态命题逻辑系统的特征公理或重要定理。

•五、复合模态命题推理和叠置模态命题推理

•六、直言模态对当关系推理

•   直言模态对当关系推理是指，根据直言模态命题之间必然存在的真假对当关系来进行的推理。

    直言模态命题是指将“必然”、“可能”等模态词加到A、E、I、O等直言命题之上而形成的模态命题。

•   把模态词“必然”加到A、E、I、O等直言命题之上而形成的模态命题叫直言必然命题。

•   把模态词“可能”加到A、E、I、O等直言命题之上而形成的模态命题叫直言可能命题。

•   前者有四种，后者也有四种，共八种。

•七、模态命题的真值条件

•   模态词是非真值函项，即不能由其中的非模态命题的真假直接推知模态命题的真假，因而确定模态命题的真假就必须通过建立可能世界语义学来加以解决。

•   “可能世界”这个概念最初是由莱布尼茨提出来的。在他看来，凡是不违反逻辑，能够为人们所想象的情况和场合，都是可能世界。

    莱布尼茨用“可能世界”这一概念定义了模态词“必然”和“可能”，即：

•   必然就是在所有可能世界中真。

•   可能就是在有些可能世界中真。

•   美国逻辑学家克里普克为模态逻辑建立了一套严格的语义理论，叫作可能世界语义学，或叫克里普克语义学。

•   可能世界语义学对经典逻辑语义理论作了三个重大推进：

•   第一，使命题的真假相对化，即一个命题的真假只能是对一个相对可能世界而言的。

•   第二，使必然性和可能性概念相对化。我们必须说，在某一世界的必然性或可能性。

•   第三，使可能世界之间发生一定的关系，这个关系叫作可通达关系，记作R。

   一般地，可能世界语义学的核心概念是模型（这里讲的模型即标准模型）。一个模型可看作是一个三元组<W，R，V>。 其中，W是全部可能世界的集合，W的元素是一个一个的可能世界w_i，w_j，…，即W={w_i，w_j，…}。 R是定义在可能世界W上的一个二元关系，即可通达关系。两个世界w_i和w_j具有可通达关系，表示为w_iRw_j和R(w_i，w_j)读作“w_i可通达到w_j”。 V是一个赋值，对于任一模态公式a，V(a，w_i)=1表示在赋值V下，a在可能世界w_i中真， V(a，w_i)=0表示在赋值V下，a在可能世界w_i中假。对于任一公式a和任一可能世界w_i，w_i∈W， V(a，w_i)=1 或者V(a，w_i)=0。

  就模态命题与实然命题的关系而言，必然命题蕴涵实然命题，实然命题蕴涵可能命题。因此，必然命题最强，实然命题次之，可能命题最弱。

•  通常根据“结论从弱”原则区分模态三段论的有效式和无效式。

•  所谓结论从弱原则，就是模态三段论的结论不得强于前提中较弱的前提。

•  但结论从弱原则也有例外情况，当前提是由必然命题和实然命题构成时，就有以下例外情况：

•  1、当大前提是必然命题而小前提是肯定的实然命题时，结论仍可以是必然命题。

•  2、当小前提是必然否定命题时，尽管大前提是实然命题，结论仍可以是必然命题。

•   一般说来，判定一个模态三段论是否有效，通常根据如下规则：

•   （1）必须遵守直言三段论的一切规则。

•   （2）如果两个前提都是必然命题，则结论可以是必然命题。

•   （3）如果前提中有一个可能命题。或两个前提都是可能命题，则结论只能是可能命题。

•   （4）如果一个前提是必然命题，一个前提是实然命题，结论一般只能是实然命题或可能命题；但当小前提是肯定命题而大前提是必然命题，或者小前提是必然否定命题时，结论可以是必然命题。

•   凡符合上述四条规则的模态三段论是有效的，而违反其中任何一条规则的模态三段论都是无效的。

•   不过，模态三段论还可以有其他规则，例如，亚里士多德曾为模态三段论前提的五种组合的前三个格分别制定过规则。

第三节   道义命题及其推理

•一、道义模态逻辑与基本道义命题

•   道义模态逻辑主要研究道义模态命题及其推理。它是一种行动逻辑、实践逻辑。

•   道义（deontic），又叫义务、规范。道义命题是在一定情况下给人的行为提出某种命令或规定的命题。它包括“必须”、“允许”、“禁止”等道义模态词，简称道义词。道义模态命题是一种用来约束人们行为的规范命题，它不同于陈述客观事实、事态的命题。

•   根据所包含的道义词的不同，可以把道义命题分为必须命题、允许命题和禁止命题。基本的道义命题有六种：

•    1、必须肯定命题。其命题形式是：必须p。“必须”可以用大写字母“O”（obligation）表示。所以，必须肯定命题可以写为：Op。

•    2、必须否定命题。其命题形式是：必须非p。也可以写为：O¬p。

•    3、允许肯定命题。其命题形式是：允许p。“允许”可以用大写字母“P”（permission）表示。所以允许肯定命题形式可以写为：Pp。

•    4、允许否定命题。其命题形式是：允许非p。也可以写为：P¬p。

•    5、禁止肯定命题。其命题形式是：禁止p。“禁止”可以用大写字母“F”（forbiddance）来表示。所以禁止肯定命题形式可以写为：Fp。

•    6、禁止否定命题。其命题形式是：禁止非p。也可以写为：F¬p。

•   在上述六种道义命题形式中，禁止命题与必须命题、禁止命题与允许命题之间存在着如下的等价关系：

•    Fp↔O¬P

•    F¬p↔Op

•    Fp↔¬Pp

•    F¬p↔¬P¬p

•   因此，六种基本道义命题可以归结为四种基本道义命题，即Op、O¬p、Pp、P¬p。

•二、复合道义命题及其符号化

•   在基本道义命题的基础上，我们可以通过引入复合道义命题联结词，构成更加复杂的道义命题。

•   我们还可以通过把道义命题与模态命题结合起来，从而构造出既含道义词又含模态词的复杂命题。

•三、基本道义命题推理

•   具有相同素材的四种基本道义命题Op、O¬p、Pp、P¬p之间在真假方面存在着必然的制约关系，即真假对当关系。这种关系可用一个正方图形来表示，该图形叫道义方阵。

•   在上述道义方阵中，Op与P¬p、O¬p与Pp之间存在着矛盾关系，Op与O¬p之间存在着反对关系，Pp与P¬p之间存在着下反对关系，Op与Pp之间、O¬p与P¬p之间存在着从属关系。

•   依据上述对当关系中的矛盾关系，我们可以得到下列直观上成立的基本道义命题推理：

•    （1）Op↔¬P¬p

•    （2）O¬p↔¬Pp

•    （3）Pp↔¬O¬p

•    （4）P¬p↔¬Op

•   根据道义方阵中的反对关系，可以进行下列推理：

•    （5）Op→¬O¬p

•    （6）O¬p→Op

  •   根据道义方阵中的下反对关系，可以进行下列推理：

•    （7）¬Pp→P¬p

•    （8）¬P¬p→Pp

•    根据道义方阵中的从属关系，可以进行下列推理：

•    （9）Op→Pp

•    （10）O¬p→P¬p

•    （11）¬Pp→¬Op

•    （12）¬P¬p→¬O¬p

•四、复合道义命题推理

•五、道义命题的真值条件

•   由于道义模态词与真性模态词类似，因此刻画道义模态命题的真值条件通常也借助于可能世界语义学，其核心概念依然是模型。

•   道义逻辑语义学的模型是一个有序三元组<W，R，V>。

•   W是可能世界的非空集合，其元素是一个一个的可能世界w_i，w_j，w_k，…，即W＝{w_i，w_j，w_k，…}。这种可能世界总是与一定的法律体系和道德规范相联系的，在其中活动的每一个人都按照上述法律体系和道德规范规定了的活动方式活动。

_•   R是定义在W上的二元关系，叫作道义可通达关系，或者道义可选择关系，表示为w_iRw_j或R(w_i，w_j)，读作“w_i可选择w_j”。这里，如果w_i是现实世界，则w_j就是道义完善的世界或者说理想世界。 w_i可选择w_j的意思是说，w_j是w_i的道义选择，即w_j在道德上或法律上比w_i更为理想，在w_i中应该做的事情在w_j中都做了，在w_i中禁止做的事情在w_j中一件也没有做。

•   V是一个赋值，它使每一个道义公式a（a为任一公式）与W中的元素发生联系，从而使a在这些元素上为真（1）或为假（0），即V(a，w_i)＝1或者V(a，w_i)＝0。

•   这样，道义命题的真值条件就可以定义如下：

•   Oa在道义可能世界w_i上真，当且仅当，a在所有比w_i在道德或法律上更为完善或更为理想的可能世界w_j上真。

•   Pa在道义可能世界w_i上真，当且仅当，a在某些比w_i在道德或法律上更为完善或更为理想的可能世界w_j上真。

•   Fa在道义可能世界w_i上真，当且仅当，a在所有比w_i在道德或法律上更为完善或更为理想的可能世界w_j上假。

•   道义公式可分为三类：有效的、非有效但可满足的、不可满足的。