·双曲线的第一定义
数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的
距离之差的
绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的
轨迹叫做
双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=长半轴，b=短半轴）
·双曲线的第二定义
1.文字语言定义
平面内一个动点到一个定点与一条定
直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的
焦点，定直线是双曲线的
准线,常数e是双曲线的
离心率。
2.集合语言定义
设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,
这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.
注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.
3.标准方程
设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,
则由 |MF|/d=e>1.
推导出的双曲线的标准方程为
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.
而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:
(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
·双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的
实轴且∣AA＇│=2a.
B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、离心率：
第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共轭双曲线
双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]
12、弦长公式：
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
1．简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．
2．设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
(四)练习与例题
1．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．
(五)小结
1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
3．图形(见图2-25)：
4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．
作业答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
·双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ,
则S△F1PF2=b²·cot（θ/2)
·例：已知F1、F2为双曲线
C：
x²-y²=1的左右焦点，点
P在
C上，∠F1PF2=60°，则
P到x轴的距离为多
少？
解：有双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b²·cot（θ/2)=1×cot30°，
设
P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2
