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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?{个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2 (2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(? 2 2 2 f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0 方程组有n D2 ,? E2 )半径是 D 2 E2 2 4F 。配方，将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为(x+ 22 D2 )+(y+ 2 E2 22 2 )=D?E-4F 4 ②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- D2 ,- E2 ); ③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内，其中｜MC｜= (x0-a)?(y0-b) 22 。 （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。 ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d?小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 Aa?Bb?CA?B 2 2 与半径r的大 - 1 - - 2 - 【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e? 2. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. xa 22 yb 22 与 xa 22 yb 22 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： xa 22 yb 22 0. ⑸共渐近线的双曲线系方程： xa 22 yb 22 (??0)的渐近线方程为 xa 22 yb 22 0如果双曲线的渐近线为 xa yb 0时，它的双曲 线方程可设为 xa 22 yb 22 (??0). 【备注2】抛物线： （1）抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是( 2 p2 ,0)，准线方程x=- p2 ，开口向右；抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐标是(- 2 p2 ,0)， 准线方程x= p2 ，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2 p2 )，准线方程y=- p2 ，开口向上； 抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,- 2 p2 ），准线方程y= p2 ，开口向下. （2）抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0? 2 p2 ；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的 2 距离MF? p2 x0 （3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为p. 2 p2 ，顶点到准线的距离 p2 ，焦点到准线的距离为 （4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 2 AB=x1?x2+p或AB? 五、坐标的变换： 2psin? 2 (α为直线AB的倾斜角)，y1y2??p，x1x2? 2 p 2 4 ,AF?x1? p2 (AF叫做焦半径). （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 （3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系中的坐标是，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x,y). ' ' 设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式. （4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： x?x'?hy?y'?k 或 x'?x?hy'?y?k - 3 - 1. 2. 3. 4. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆 xaxa 22 ybyb 22 1上，则过P0的椭圆的切线方程是 x0xa 2 y0yb 2 1. 22 22 6. 若P0(x0,y0)在椭圆 1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 x0xa 2 y0yb 2 1. 7. 椭圆 xa 22 yb 22 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积 为S?F1PF2?btan 22 22 2 2 . 8. 9. 椭圆 xa yb 1（a＞b＞0）的焦半径公式|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)). 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、 - 4 - N两点，则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆 xa 22 yb 22 1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??xa 22 ba 22 ，即K AB bx0ay0 2 2 。 12. 若P0(x0,y0)在椭圆【推论】： 1、若P0(x0,y0)在椭圆 yb 22 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 x0xa 2 y0yb 2 x0a 2 2 y0b 2 2 ； xa 22 yb 22 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 xa 22 yb 22 x0xa 2 y0yb 2 。椭圆 xa 22 22 yb? 22 1（a＞b 22 ＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 xa yb 1. 2、过椭圆 2 xa 22 yb 22 b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且?1 (a＞0, kBC? bx0ay0 2 （常数）. 3、若P为椭圆 xa 22 yb 22 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则 a?ca?c tan 22 2 cot 22 2 . 4、设椭圆 xa yb 1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, sin?sin??sin? ca PF1F2??,?F1F2P??，则有 e. 5、若椭圆 xa 22 yb 22 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P，使 得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为椭圆 xa 22 yb 22 1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|, 当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立. 7、椭圆 (x?x0)axa 2 2 yb 22 (y?y0) b 2 2 1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?(Ax0?By0?C). 22222 22 8、已知椭圆 1111 1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）;???2222 |OP||OQ|ab 4ab 2 2 22 （2）|OP|+|OQ|的最大值为 22 a?b ;（3）S?OPQ的最小值是 ab 2 222 a?b . - 5 - 8、双曲线 xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)）当M(x0,y0)在右支上时， |MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a；当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11、AB是双曲线 xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?K AB bx0ay0 2 2 ，即 K AB bx0ay0 2 2 。 12、若P0(x0,y0)在双曲线 xaxa 22 ybyb 22 1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是 xa x0xa 22 2 yb 22 y0yb? 2 x0a? 2 2 y0b 2 2 . 22 22 13、若P0(x0,y0)在双曲线【推论】： 1、双曲线 1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是? x0xa 2 y0yb 2 . xa 22 ybxa? 2 22 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交yb 22 22 点的轨迹方程是 yb 22 1. 2、过双曲线 xa 22 1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定 向且kBC?? bx0ay0 2 （常数）. 3、若P为双曲线 xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??， c?ac?a 则 c?ac?a tan 22 2 cot 22 2 （或?tan 2 cot 2 ）. 4、设双曲线 xa yb 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, sin??(sin??sin?) ca PF1F2??,?F1F2P??，则有 e. 5、若双曲线 xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点 P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为双曲线xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当 且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立. 7、双曲线 xa 22 xa yb 22 22 22222 1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C. 8、已知双曲线 1 yb 22 ，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ. ?1（b＞a ＞0） 2 22 2 22 （1） 1|OP| 2 22 |OQ|?yb 22 2 1a 2 1b 2 ;（2）|OP|+|OQ|的最小值为 22 4ab 2 b?a ;（3）S?OPQ的最小值是 ab 2 b?a . 9、过双曲线 xa 1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 |PF||MN| e2 . 10、已知双曲线 xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则a?bayb 222 2 x0? a?ba 22 或x0?? . 11、设P点是双曲线 xa 22 2 1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则 (1)|PF1||PF2|? 2b 1?cos?xa 22 .(2) S?PFF?bcot 1 2 2 2 . 12、设A、B是双曲线? yb 22 PAB??, ?PBA??,?BPA??，（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?1 c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|? 2ab|cos?||a?ccos?| 2 2 2 2 . (2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB? 2 2ab 2 222 b?a cot?. 13、已知双曲线 xa 22 yb 22 1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点, 点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论： ①ay?by?c?x顶点( 2 4ac?b4a 2 b2a ). ②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P. 2 2 ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. x?2pt2?x?2pt ④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或? y?2pt?y?2pt 2 2 2 ）（t为参数）. 圆锥曲线的性质对比 转载请保留出处，http://www./doc/c10dd2fcc8d376eeaeaa313c.html |
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