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都说A股是赌场，但是赌也是有学问的。凯利公式就是这样一种学问。这个公式要解决的是赌博者多次下注时每次投入本金的最佳百分比。利用这个最佳百分比，赌博者可以获得最大的财富增长。
假设用投掷硬币的方式赌博。正面赢，获得下注的等额回报。反面输，损失全部下注。假设正面的概率为p，反面的概率为q，每次下注占本金的比例为f，原始本金为x，每次下注则为xf。那么选取什么样的f值能让n次投注后的财富增长最多呢？这就是凯利公式要解决的问题。
 从上图可以看出经过n次投注后赌博者所剩的财富的公式。而我们需要找到一个最佳的f值，让这个n次投注后的终值与最初的x值的比例最大。这个比例可以稍加变换：  实际上就变成了求下面这个公式的最大值：
  根据大数定律，可以进一步转换为：
 取一阶导数，并令其等于零，则可以得出最佳的投注比例：   为了数学上的严谨性，我们还要看二阶导数：
 由于二阶导数小于零，所以一阶导数在[0，1）区间是严格单调下降的。由于在原点处一阶导数大于零，在f趋近1时一阶导数趋近负无穷。由于一阶导数的连续性，当f = p - q 的最佳投注比例时，财富增长存在一个唯一的最大值。
上面的情况是最简单的，赔率为1。另外，还可以有更复杂的，如赔率为b的情况（输掉全部投注，赢得投注的b倍的奖金）。另外，如果输的时候不输掉全部投注，只输掉c倍的投注，赢的时候赢得投注的b倍的奖金。这些都是凯利公式的变种。  值得注意的是，当输的时候只输掉一小部分，即c是很小的百分数，而赢的回报非常高，即b是一个大于1的数时，f值可以大于1，也就是说借钱赌才是最理性的。而且在这种情况下，即使赢的几率很小，远低于输的几率也没关系，借钱赌也是合理的，因为赢的回报远高于输的损失。这其实就是泡沫的一个内在原因之一。当输的损失不大，而赢的回报非常高，借钱去赌是一种理性的选择。虽然大家都知道泡沫不可持续，泡沫继续上涨的几率远低于下跌的几率，但是只要输的损失不大（如银行买单），赢的回报足够大，大家还是会趋之若鹜，疯狂推高泡沫。这其实是非理性中的理性选择。 虽然凯利公式非常有意义，但应用在股票中还要更复杂的计算，涉及到协方差。凯利公式的条件是各次投注是独立的事件，而股票市场的投资很难做到独立。而且，当投资的股票超过一个时，由于股票之间的相关性，就不能简单的应用凯利公式。对于没有复杂模型和大型计算机的普通投资者，基本面分析还是一切的基础。而且很多股票的投资回报的大小及概率还要依靠基本面分析。股票投资没有万能的公式。 |
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