前面已指出,当取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断。为了实现推断的目的必须进一步确定相应的统计量所服从的分布。这样就有必要补充一些在本书概率论部分未曾提及,但在统计学中却经常用到的分布。 6.3.1 分位数 在统计推断中,经常用到统计分布的一类数字特征——分位数。在即将讨论一些常用的统计分布前,我们首先给出分位数的一般概念。 定义6.3.1 设随机变量 的分布函数 为,对给定的实数 ,如果实数 满足 即 或 则称 为随机变量 的分布的水平 的上侧分位数。或直接称为分布函数 的水平 的上侧分位数。 显然,如果 是严格单调增的,那么其水平 的上侧分位数为 当 是连续型随机变量时,设其概率密度函数为 ,则其水平 的上侧分位数 满足 在图形上(图6.3.1),介于密度函数曲线下方, 轴上方与垂直直线 右方之间的阴影区域的面积恰好等于 。 例如,标准正态分布 的水平 的上侧分位数通常记作 ,则 满足 即 图6.3.2 给出了标准正态分布的水平 的上侧分位数的图示。 图6.3.1 上侧分位数 图6.3.2 标准正态分布的上侧分位数 一般讲,直接求解分位数是很困难的,对常见的统计分布,在本书附录中给出了分布函数值表或分位数表,通过查表,可以很方便地得到分位数的值。 比如,对给定 的,查标准正态分布的分布函数值表,可得到 的值。对于像标准正态分布那样的对称分布(概率密度函数为偶函数,关于 轴对称!),统计学中还用到另一种分位数——双侧分位数。 定义6.3.2 设 是对称分布的随机变量,其分布函数为 ,对给定的实数 ,如果实数 满足 即 则称实数 为随机变量 的分布的水平 的双侧分位数,也简称为分位数。或直接称为分布(函数) 的水平 的分位数。 由于对称性,可改写为 或 图6.3.3 标准正态分布的水平 的双侧分位数 可见,水平 的分位数实际等于水平 的上侧分位数。即有 图6.3.3以标准正态分布为例给出了双侧分位数的图示。 下面我们给出统计三大分布的生成背景。 分布、 分布和 分布是统计学上的三大分布,它们在统计上有着广泛的应用,在独立性的假设下可以导出这些分布。
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