2010全国中考数学试题汇编:操作探究(含答案)

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 

操作探究

(2010年安徽省B卷)10．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）

A．5            B．4           C．3 D．1

【关键词】图形的变换

【答案】D．

23（2010年浙江省东阳县）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸。A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元。

探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需       元；

探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；

探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形

EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这

样的多块木板贴一堵墙（7×3平方米）进行装饰，

要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量

不浪费材料，则需要这样的木板     块。

【关键词】操作探究

【答案】（1）220

（2）y=20x2—20x+60 

当x=时，y小=55元。

（3）y=20x2—20ax+60a2    

当x=a时，21块 

23．（2010年山东省青岛市）

问题再现

现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.

试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着         个

正六边形的内角．

问题提出

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？

问题解决

猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．

验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：

，整理得：，

我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为  ．   

结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．

验证2：

结论2：                                                                      

                                                                              ．

上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．

问题拓广

请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．

猜想3：                                                      .   

验证3：

结论3：                                                                      

                                                                               . 【关键词】

【答案】解：3个；                                                1分

验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：

．                                      

整理得：，     

可以找到两组适合方程的正整数解为和． 3分

结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分

猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6分

验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：

，

整理得：，

可以找到惟一一组适合方程的正整数解为. 8分

结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.）

1.（2010年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是(   ) .

A. 669       B. 670　     C.671       D. 672

【关键词】正方形、实验操作、规律探索

答案： B；

22．(2010年北京崇文区)  正方形的边长为，等腰直角三角形的斜边 （），且边和在同一直线上 ．小明发现：当时，如图①，在上选取中点，连结和,裁掉和的位置构成正方形．

（1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足        ．

【关键词】正方形的剪拼、

【答案】（1）

  （2）．

 (2010年浙江省绍兴市)分别按下列要求解答：

（1）在图1中,将△ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变换后得到△A1B1 C1.画出△A1B1C1；

（2）在图2中,△ABC经变换得到△A2B2C2.描述变换过程.

【答案】(1) 如图．          

(2) 将△ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移

2个单位,得到△A2B2C2．（变换过程不唯一）

2.（2010年宁德市）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个

直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（    ）.

A．2＋         B．2＋2         C．12        D．18

【答案】B

27．（2010江苏泰州，27，12分）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．

⑴求的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；

⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

【答案】⑴ ∵抛物线经过点D()

∴

∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，

　∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC   ∴DE=BF  

又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE

∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM    即AC平分BD 

∵c=6.  ∵抛物线为

∴A（）、B（）

∵M是BD的中点   ∴M（）

设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

解得

直线AC的解析式为.

⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

【关键词】二次函数、一次函数、解直角三角形及其知识的综合运。

23、（2010年浙江省东阳县）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸。A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元。

探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需       元；

探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；

探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（7×3平方米）进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板     块。

【关键词】操作探究

【答案】（1）220

（2）y=20x2—20x+60 

当x=时，y小=55元。

（3）y=20x2—20ax+60a2    

当x=a时，

21块 

24．(2010年安徽省芜湖市)（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－3(3)，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

【关键词】二次函数 一次函数 三角函数  三角形周长的最小值

【解】：(1)由于折痕所在的直线EF过E（－，1）、F（－3(3)，0）,

       ∴．直线EF的倾斜角为60°,

所以直线EF的解析式为：，

化简，得．．．．．3分

(2)设矩形沿直线EF向下方翻折后,B、C的对应点为，过B′作⊥AE，交AE所在的直线于点．

∵，, 

∴,，，

∴A与重合，在轴上，  ∴，即

【此时需说明在轴上】．．．．．．．．．．．．．．6分

设二次函数解析式为：，

抛物线经过B（－3，1）、E（－，1）、，

得到，解得

∴该二次函数解析式为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

(3)能,可以在直线EF上找到P点，连接交EF于P点，再连接BP．

由于，此时点P在C、在一条直线上，故的和最小，由于BC为定长,所以满足△PBC周长最小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．

设直线的解析式为：．，解得

∴直线的解析式为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．

又∵P为直线和直线EF的交点，∴，解得

∴P点的坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分．

【注：对于以上各大题的不同的解法，解答正确克参照评分！】

22．（2010年浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．

    　　若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．

    解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．

  （2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”

{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”

{3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.

②证明四边形OABC是平行四边形.

（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

【关键词】新定义型、平面直角坐标系、平行四边形的判定

【答案】（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．   

{1，2}+{3，1}={4，3}． 

（2）①画图 

     最后的位置仍是B．

② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）

∴OC=AB==，OA=BC==，

  ∴四边形OABC是平行四边形．

（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．

25．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。

实验与论证

       设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。

（1） 用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________

（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

归纳与猜想

设正n边形A0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．

（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

【关键词】正多边形、旋转、规律探究题

【答案】解：（１）．

（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．

证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．

（３）当为奇数时，

当为偶数时，．

（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．

当为偶数时，直线垂直平分．

  

22．（2010山东德州）●探究   (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．

①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；

②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；

(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，

求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的

代数式表示），并给出求解过程．

●归纳  无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，

当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，

x=_________，y=___________．（不必证明）

●运用  在图2中，一次函数与反比例函数

的图象交点为A，B．

①求出交点A，B的坐标；

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，

请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

【关键词】反比例函数、探究、坐标、

【答案】

解： 探究   (1)①(1，0)；②(-2，)；

 (2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为

，， ，则∥∥．

∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得

=．

∴O=．

即D点的横坐标是．

 同理可得D点的纵坐标是．

∴AB中点D的坐标为(，)．

归纳：，．

运用   ①由题意得

解得或．

∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．

②以AB为对角线时，

由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．

∵平行四边形对角线互相平分，

∴OM=OP，即M为OP的中点．

∴P点坐标为(2，-2) ．

同理可得分别以OA，OB为对角线时，

点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．

∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．