基于《课程标准》的数学学业考试要点剖析二

励耕馆 2013-09-21

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2．空间与图形

按照《课程标准》中对学习内容的分类，“空间与图形”部分的课程内容主要包括“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”等。而每一部分内容的学习重心、基本要点将毫无疑问的成为重点考查内容。

特别需要指出的是，培养学生的“空间观念”成为整个“空间与图形”部分的最主要课程目标。而对于什么是空间观念，《课程标准》没有给出明确界定。但《课程标准》描述了“空间观念”的一些外在表现，具体包括：

①“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”；

②“能根据条件做出立体模型或画出图形”；

上述两者都侧重于三维实物与平面图形的转化，强调的是一种基于观察、实验基础上的实践能力，是“空间观念”最为直接的一种表现形态。进一步，《标准》指出了“空间观念”在分析、抽象层面上的表现：

③“能从较复杂的图形中分解出基本的图形”；

④“能描述实物或几何图形的运动、变化”；

⑤“能采用适当的方式描述物体间的相互关系”，如向其他人描述你所见到的几何形体等；

⑥“能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考”，如能根据照片判断拍摄照片的大致时间以解决实际问题等。

这是主动应用“空间观念”解决实际问题意识的行为表现。

例17 举出（或画出）两种不同类型的几何体，使得两种几何体的左视图都是三角形（或圆、长方形等）。

例18 下图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.

（1）请你画出这个几何体的一种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，

请你写出n的所有可能值.

考查内容：几何体与图形之间转换关系、作图、表示；探索与描述几何对象的变化规律；借助图像进行推理等。

⑴ 图形的认识

这一部分内容的学习重点，将不仅仅是那些特定的结论，还应当包括探索结论过程中所运用的重要数学方法。具体包括：

能估计并会比较角的大小，会进行度、分、秒之间的简单换算。了解角的平分线、线段垂直平分线及其性质，能找出特定角的补角、余角和对顶角，理解等角的余角和补角相等，对顶角相等。在了解垂线段最短的性质基础上，理解两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间距离等概念之间的联系。能够选择恰当的工具画一条直线的垂线、平行线；知道过定点只能画一条直线垂直于（平行于）给定直线。掌握两条直线平行与垂直的概念，并能够运用平行线的性质解决几何问题。会画出任意三角形的角平分线、中线、高、内心和外心。了解三角形中位线及其性质。掌握两个三角形全等的条件。理解等腰三角形、直角三角形的概念及其性质。会运用勾股定理及其逆定理解决问题。了解正三角形、正多边形的概念。了解多边形内角和与外角和公式及其由来。掌握平行四边形、梯形、矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间的关系。了解线段、三角形、平行四边形、矩形的重心及物理意义。能用三角形、四边形或正方形进行简单的镶嵌设计，并理解图形镶嵌（密铺）的原理。理解圆及其性质，了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系，会计算弧长及扇形面积；了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；知道直径所对圆周角为直角。了解切线的概念，知道切线与过切点的半径互相垂直，能判定直线与圆是否相切，会过圆上一点画圆的切线。能够完成以下基本作图（对于尺规作图题，会写已知、求作和作法即可，不要求证明）：（1）作一条线段等于已知线段。（2）作一个角等于已知角。（3）作某个已知角的平分线。（4）作某条已知线段的垂直平分线。（5）已知三边作三角形。（6）已知两边及其夹角作三角形。（7）已知两角及其夹边作三角形。（8）已知底边及底边上的高作等腰三角形。（9）过不在同一直线上的三点作圆。

正确认识基本几何体：直棱柱、圆柱、圆锥、球。既能够根据基本几何体（包括实物原型）判断和绘制主视图、左视图、俯视图，也能够根据主视图、左视图、俯视图描述基本几何体。既了解直棱柱、圆锥、圆柱的展开图，会计算它们的侧面积和全面积，又能够根据展开图判断和制作相应的立体模型。了解几何体、三视图、展开图之间的关系，并能够将这种关系应用到现实生活中。能够绘制简单的平面图和立体图，比较清晰地反映视点、视角和盲区。了解生活中中心投影和平行投影的实例，能对两者进行区分。

例19 如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上。

考查内容：多角度、深层次理解角平分线概念，以及与角平分线概念相联系的其它概念和原理。

⑵ 图形与变换

作为一个学习主题，该部分的重点在于对变换现象的了解、应用（特别是在探索图像性质过程中），而不是变换本身的性质熟悉。具体考查内容包括：

了解现实生活中的镜面对称现象，能找出常见的轴对称图形并指出对称轴，掌握轴对称图形具有的基本性质，并利用轴对称性进行图案设计。能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。知道等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆的轴对称性及其相关性质。

了解现实生活中的平移现象和实例，理解平移的基本性质：对应点连线平行且相等。能按照要求作出简单平面图形平移后的图形，并利用平移进行图案设计。

了解现实生活中的旋转现象和实例，了解平行四边形和圆是中心对称图形。理解旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等。能按照要求作出简单平面图形旋转后的图形，并利用旋转进行图案设计。

在了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段等概念基础上，能正确认识图形的相似，理解相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。了解两个三角形相似的概念以及相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题。了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。了解黄金分割比在建筑和艺术上的价值。

了解锐角三角函数（sinA，cosA, tanA），知道 30°，45°,60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角，并能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

例20．从下面两题中任选一题进行解答：

（1）先在上面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形，再将基础图形去掉或添上一部分，使新图形仍为轴对称图形，画在下面的方格纸上。

（2）先在上面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形，再将基础图形的一部分平移或旋转到剩余图形的某一位置组成新的图形，使新图形仍为轴对称图形，画在下面的方格纸上。

基础图形变换图形

考查内容：轴对称图形的基本性质、能按照要求作出简单平面图形平移（旋转）后的图形，利用平移（旋转）进行图案设计。

例21 取两块完全重合的正方形纸片，将上面的一块绕正方形的中心O旋转，那么旋转时两个正方形的公共部分构成一个多边形，如图的公共部分是一个八边形，那么在旋转过程中公共部分可能是七边形吗？说说你的理由。

考查内容：旋转变换的基本特点，对称现象的应用。

⑶ 图形与坐标

这里，坐标首先是作为表达几何对象位置（关系）的一种重要方式，它服务于培养学生空间观念这个首要目标。其次，它还是数形结合的一个典型内容。因此，对它的考查包括：

能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，或者由点的位置写出它的坐标。能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。在同一直角坐标系中，明白图形变换与点的坐标变化之间的关系。会用多种方式确定物体的位置。

例22 如图，如果所在位置的坐标为（－1,－2），所在位置的坐标为（2,－2），那么，所在位置的坐标为 .

考查内容：能否建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。

⑷ 图形与证明

这一部分内容历来是我们初中数学学习的重点，有时甚至可以说是最关键的部分。但是，以往的考查面则比较“窄”──基本是证明给定图形的某个性质，或图形之间的关系，如：图形A是平行四边形，图形B与图形C全等，等等。而《课程标准》则对此赋予了更为丰富的课程目标，如：能够利用合情推理的方式猜测结论，等等。具体的考查内容包括：

了解证明的含义，理解证明的必要性，明白几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。了解逆命题的概念，会区分命题的条件（题设）和结论，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。能够通过合情推理获得数学猜想。理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的，初步了解反证法的含义。掌握用综合法证明的格式，能保证证明的过程步步有据。能灵活运用课程标准中规定的基本事实作为证明的依据进行几何推理。

例23 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形；乙同学找来了这样一个几何事实：（图一），△ABC是正三角形，＝＝，可以证明六边形ADBECF的各内角相等。丙同学认为当边数是5时这个命题是成立的，于是他猜想边数是7时这个命题仍然成立。