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2010年部分省市中考数学试题分类汇编 动态问题 24、（2010年浙江省东阳县）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。 【关键词】运动性问题 【答案】（1）Ｃ（４，１） （2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0） 当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0） （３）Ｓ＝－ 当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝ 当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝ 当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝ 24．（2010年山东省青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm． 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？ （2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由． （3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
【答案】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上， ∴AP = AQ. ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°， ∴∠EQC = 45°. ∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t. 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2. 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
∴ 在Rt△ABC和Rt△BPM中， ∴ ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t. ∴y = S△ABC－S△BPE = = ∵ ∴当t = 3时，y最小= 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为
过P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵NQ = AQ－AN， ∴NQ = 8－t－( ∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP . ∴ ∵ 解得：t = 1. 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数 量关系： ； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长． （可利用（2）得到的结论）
【关键词】正方形与旋转 【答案】解：（1）如图①AH=AB………………………..1分 （2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND………………… ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM………………………………….4分 ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 得到△ABM和△AND ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE． 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD. 设AH=x，则MC=
∴ 解得 ∴AH=6.……………………………………………7分[来源:Zxxk.Com] 图③
【关键词】函数的图象 【答案】A （2010年重庆市潼南县）（12分）如图, 已知抛物线 （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】 解：（1）∵二次函数 ∴ 解得： b=－ ∴二次函数的解析式为 （2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2－m 由△ADE∽△AOC得， ∴ ∴DE= ∴△CDE的面积= 当m=1时，△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为（1，0）－－－－－－－－－－－－－－8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 ∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ∴ ∴直线BC的解析式为: y=－x－1 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1
∵点B(－1,0) 点C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C为顶点且PC=AC= 设P(k, －k－1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2=
②以A为顶点，即AC=AP= 设P(k, －k－1) 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2 （2－k)2+(－k－1)2=5
∴P3(1, －2) －－－－－－－－－11分 ③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA= ∴AL=∣k－2∣, PL=｜－k－1｜ 在Rt△PLA中( 解得：k= 综上所述： 存在四个点：P1（ P2（－
【关键词】函数图像及动点问题 【答案】B 1.(2010福建泉州市惠安县)如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB →BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向
【关键词】翻转,旋转 【答案】A 2.(2010福建泉州市惠安县)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10． (1)求梯形ABCD的周长； (2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【关键词】运动与等腰三角形 【答案】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E
∴四边形ABED是矩形 ∴AD=BE=2，AB=DE=8 在Rt△DEC中，CE= ∴梯形ABCD的周长= AB+BC+CD+DA=28. （2） ① ∵梯形ABCD的周长为28，PQ平分梯形ABCD的周长 ∴BP+BC+CQ=14 又∵BP=CQ=t ∴t+8+t=14 ∴t=3 ∴当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长. ②（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G ∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC= ∴CF=
PQ2=QG2+PG2=（8－ 若DQ=PD，则（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8； 若DQ=PQ，则（10－t）2= 解得：t1= （ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t， ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立； 而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形； （iii）当10＜t≤12时，PD=DQ= t－10， ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立； 综上所述，当t= （2010辽宁省丹东市）25．如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ． （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
【关键词】等边三角形 【答案】 25．（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分 （说明：答对一个给2分） （2）成立． 4分 证明： 法一：连结DE，DF． 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE． 7分 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE． 8分 ∴MF=NE． 9分
法二： 延长EN，则EN过点F． 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 7分 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°， ∴△DBM≌△DFN． 8分 ∴BM=FN． ∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分 法三： 连结DF，NF． 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF= 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 7分 在△DBM和△DFN中，DF=DB， DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． ∴∠B=∠DFN=60°． 8分 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°． ∴可得点N在EF上， ∴MF=EN． 9分 （3）画出图形（连出线段NE）， 11分
1.（2010年福建省晋江市）如图，在等边 (1) 填空： (2) 当点 (3)若
【答案】(1)60； (2)∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ (3)①当点 则
在 则 在
②当点 ∵ ∴ ∴ ∴
∴ ③当点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得： 综上， 2.（2010年辽宁省丹东市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ． （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
【答案】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， （2）成立．证明：法一：连结DE，DF． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE． 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE． 法二： 延长EN，则EN过点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°， ∴△DBM≌△DFN． ∴BM=FN． ∵BF=EF， ∴MF=EN． 法三： 连结DF，NF．∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF= 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 在△DBM和△DFN中，DF=DB，
∴∠B=∠DFN=60°． 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°． ∴可得点N在EF上， ∴MF=EN． （3）画出图形（连出线段NE），
（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）. ⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
【答案】解：⑴ x，D点； ⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝ ②分两种情况： Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM， ∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6. 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°， 所以，此时 y＝ Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， ∵EC＝6－x, ∴y＝ ⑶当0＜x≤2时，∵y＝ ∴x＝2时，y最大＝ 当2＜x＜3时，∵y＝ 当3≤x≤6时，∵y＝ ∴x＝3时，y最大＝
23．（2010年山东省济宁市）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ （1）求此抛物线的解析式； （2）过点 （3）已知点
【答案】（1）解：设抛物线为 ∵抛物线经过点 ∴ ∴抛物线为 (2) 答： 证明：当 ∴ 设⊙ ∵ 又∵ ∴ ∵抛物线的对称轴 ∴抛物线的对称轴 (3) 解：如图，过点 可求出 设 ∴ ∵ ∴当 此时， 24. (2010年浙江省金华) (本题12分) 如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3 请解答下列问题： （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
【关键词】一次函数、三角形全等、解直角三角形、菱形、对称 【答案】 解：（1） （3）①当点
∴△ 又∵ 而 由
当点P在线段 过P作 ∵ ∴ 在Rt△
∵ 将△ △ ∵ C点坐标为（ 过 则△ 由 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点 23．（2010山东德州）已知二次函数 (1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； ②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作 x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ 的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式， 并指出t的取值范围；当t为何值时， S有最大值或最小值． 【关键词】二次函数、等腰梯形、动态探究 【答案】 解：(1)∵二次函数 ∴c =－3． 将点A(3，0)，B(2，－3)代入
解得：a=1，b=－2． ∴ 配方得： (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等， ∴BC∥OA． 过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB． 即QE=AD=1． 又QE=OE－OQ=(2－0.1t)－0.1t=2－0.2t， ∴2－0.2t=1． 解得t=5． 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形． ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G． ∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线， ∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ， ∴PF=QG． 又∵∠PMF=∠QMG， ∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG． ∴点M为FG的中点 ∴S= = 由
∴S= 又BC=2，OA=3， ∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0<t≤20． ∴当t=20秒时，面积S有最小值3． 26．(2010年重庆)已知：如图（1），在平面直角坐标系 （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D,使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标； （3）如图（2），现有∠MCN=60°,其两边分别与OB,AB交于点M,N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转(0°＜旋转角＜60°)，使得M,N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没变化,请求出周长；若发生变化，请说明理由．
【答案】解：(1) 过点C作CD⊥OA于点D.(如图①) ∵OC=AC,∠ACO=120°,
∵OC=AC, CD⊥OA, ∴OD=DA=1. 在
（i）当
过点Q作QE⊥OA于点E. (如图①) 在
即 （ii）当
∵∠BOA=60°,∠AOC=30°,∴∠POQ=90°. ∴S△OPQ= 即 故当 当
（3）△BMN的周长不发生变化. 延长BA至点F,使AF=OM,连接CF. (如图③) ∵∠MOC=60°=∠FAC=90°,OC=AC, ∴△MOC≌△FAC. ∴MC=CF,∠MCO=∠FCA. ∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA =∠OCA－∠MCN=60°. ∴∠FCN=∠MCN. 又∵MC=CF,CN=CN, ∴△MCN≌△FCN.∴MN=NF. ∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO－OM+BA+AF=BA+BO=4. ∴△BMN的周长不变，其周长为4. |
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